найти наименьшее значение функции f(x)=(e^x)/(x-1), x>1

Чтобы найти наименьшее значение функции \( f(x) = \frac{e^x}{x - 1} \) для \( x > 1 \), мы можем воспользоваться методом нахождения производной. Следуйте следующим шагам:

1. Найти производную функции. Для этого применим правило деления:

\[ f'(x) = \frac{(e^x)'(x - 1) - e^x (x - 1)'}{(x - 1)^2} = \frac{e^x (x - 1) - e^x}{(x - 1)^2} = \frac{e^x (x - 2)}{(x - 1)^2} \]

2. Найти критические точки. Установим производную равной нулю:

\[ \frac{e^x (x - 2)}{(x - 1)^2} = 0 \]

Здесь \( e^x \) никогда не равен нулю, поэтому мы можем просто решить \( x - 2 = 0 \):

\[ x = 2 \]

3. Проверить, является ли это минимумом. Для этого нужно исследовать знак производной на интервале \( (1, \infty) \):

• При \( x < 2 \) (например, \( x = 1.5 \)): \( x - 2 < 0 \) → \( f'(x) < 0 \) (функция убывает)
• При \( x > 2 \) (например, \( x = 3 \)): \( x - 2 > 0 \) → \( f'(x) > 0 \) (функция возрастает)

Это показывает, что в точке \( x = 2 \) находится минимум.

4. Найти значение функции в критической точке:

\[ f(2) = \frac{e^2}{2 - 1} = e^2 \]

Таким образом, наименьшее значение функции \( f(x) \) на заданном интервале \( x > 1 \) равно \( e^2 \) и достигается при \( x = 2 \).