Решить уравнение: x²-4/x+x/x²-4=3 1/3
Давайте решим уравнение:
\[ \frac{x^2 - 4}{x} + \frac{x}{x^2 - 4} = 3 \frac{1}{3} \]
Сначала преобразуем правую часть уравнения в неправильную дробь:
\[ 3 \frac{1}{3} = \frac{10}{3} \]
Теперь у нас есть:
\[ \frac{x^2 - 4}{x} + \frac{x}{x^2 - 4} = \frac{10}{3} \]
Обозначим \(y = x^2 - 4\). Теперь уравнение станет:
\[ \frac{y}{x} + \frac{x}{y} = \frac{10}{3} \]
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе стороны на \(3xy\):
\[ 3y^2 + 3x^2 = 10xy \]
Приведем все к одной стороне:
\[ 3y^2 - 10xy + 3x^2 = 0 \]
Теперь это квадратное уравнение относительно \(y\). Используем дискриминант:
\[ D = (-10x)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3x^2 = 100x^2 - 36x^2 = 64x^2 \]
Теперь находим корни уравнения по формуле квадратного уравнения:
\[ y = \frac{10x \pm \sqrt{64x^2}}{2 \cdot 3} = \frac{10x \pm 8x}{6} \]
Таким образом, у нас получаются два возможных значения для \(y\):
- \(y_1 = \frac{18x}{6} = 3x\)
- \(y_2 = \frac{2x}{6} = \frac{x}{3}\)
Вспоминаем, что \(y = x^2 - 4\), значит подставим обратно:
\(x^2 - 4 = 3x\)
Это уравнение можем привести к стандартному виду:
\[ x^2 - 3x - 4 = 0 \]
Теперь находим дискриминант:
\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \]
Корни:
\[ x = \frac{3 \pm 5}{2} \]
Получаем:
\[ x_1 = 4 \quad \text{и} \quad x_2 = -1 \]
\(x^2 - 4 = \frac{x}{3}\)
Это также приводим к стандартному виду:
\[ 3x^2 - x - 12 = 0 \]
Находим дискриминант:
\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 1 + 144 = 145 \]
Корни:
\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{145}}{6} \]
Теперь у нас есть все решения уравнения:
- Первое уравнение дало корни \(x = 4\) и \(x = -1\).
- Второе уравнение даёт \(x = \frac{1 + \sqrt{145}}{6}\) и \(x = \frac{1 - \sqrt{145}}{6}\).
Таким образом, у вас есть множество решений для данного уравнения. Если возникнут дополнительные вопросы или нужно будет разобрать какой-то момент подробнее, не стесняйтесь спрашивать!
