G:R-->R,g(x)=7x a) постройте график функции g б) найдите нуль функции g в) исследуйте знак функции g г) исследуйте на монотонность g

Давайте рассмотрим функцию \( g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \), заданную формулой \( g(x) = 7x \).

а) Построение графика функции g

График функции \( g(x) = 7x \) является прямой линией. Чтобы построить график, нужно отметить несколько точек.

1. Когда \( x = 0 \), \( g(0) = 7 \cdot 0 = 0 \). Таким образом, точка (0, 0) на графике.
2. Когда \( x = 1 \), \( g(1) = 7 \cdot 1 = 7 \). Мы получаем точку (1, 7).
3. Когда \( x = -1 \), \( g(-1) = 7 \cdot (-1) = -7 \). Это точка (-1, -7).

Соединив эти точки, мы получаем прямую линию, которая проходит через начало координат (0, 0) и имеет положительный наклон.

б) Нуль функции g

Нуль функции — это значение \( x \), при котором \( g(x) = 0 \). Начнем с уравнения:

\[ 7x = 0 \]

Решив это уравнение, получаем:

\[ x = 0 \]

Таким образом, нуль функции \( g \) находится в точке \( x = 0 \).

в) Исследование знака функции g

Чтобы исследовать знак функции \( g(x) = 7x \), нужно определить, когда она положительна, отрицательна или равна нулю:

• \( g(x) > 0 \) когда \( 7x > 0 \) → \( x > 0 \).

  • Поэтому функция положительна для всех \( x > 0 \).

• \( g(x) < 0 \) когда \( 7x < 0 \) → \( x < 0 \).

  • Таким образом, функция отрицательна для всех \( x < 0 \).

• \( g(x) = 0 \) только в точке \( x = 0 \).

Итак, знак функции:

• \( g(x) < 0 \) при \( x < 0 \),
• \( g(x) = 0 \) при \( x = 0 \),
• \( g(x) > 0 \) при \( x > 0 \).

г) Исследование на монотонность функции g

Монотонность функции можно определить путем анализа производной. Произведем дифференцирование функции \( g(x) = 7x \):

\[ g'(x) = 7 \]

Поскольку производная \( g'(x) = 7 \) положительна для всех \( x \in \mathbb{R} \), это означает, что функция \( g(x) \) является строго возрастающей на всей области определения.

Таким образом, функция не только возрастает, но и не имеет максимумов или минимумов, что наглядно подтверждается графиком.

В заключение, мы исследовали функцию \( g \) и выяснили, что она представляет собой линейную, возрастающую функцию, с единственным нулем в точке \( x = 0 \).