При каких целых значениях параметра а корень уравнения (a - 5)x + а = 3 лежит в промежутке [0; 5]?
Чтобы решить это уравнение, начнем с его преобразования. Уравнение имеет вид:
\[ (a - 5)x + a = 3. \]
Перепишем его в виде:
\[ (a - 5)x = 3 - a. \]
Теперь выразим \(x\):
\[ x = \frac{3 - a}{a - 5}. \]
Теперь нам нужно, чтобы этот корень \(x\) находился в промежутке \([0; 5]\). Для этого составим два неравенства:
- \(0 \leq \frac{3 - a}{a - 5} \leq 5\).
Начнем с первого неравенства:
\[ \frac{3 - a}{a - 5} \geq 0. \]
Это неравенство выполняется, если числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Рассмотрим два случая:
1.1 \(3 - a \geq 0\) и \(a - 5 > 0\) (то есть \(a \leq 3\) и \(a > 5\) — невозможно). 1.2 \(3 - a \leq 0\) и \(a - 5 < 0\) (то есть \(a \geq 3\) и \(a < 5\)).
Таким образом, для первого неравенства мы имеем:
\[ 3 \leq a < 5. \]
Теперь перейдем ко второму неравенству:
\[ \frac{3 - a}{a - 5} \leq 5. \]
Умножим обе стороны на \(a - 5\) (мы учтем знак \(a - 5\) позже):
\[ 3 - a \leq 5(a - 5). \]
Раскроем скобки:
\[ 3 - a \leq 5a - 25, \]
или
\[ 3 + 25 \leq 5a + a, \]
что дает:
\[ 28 \leq 6a, \]
откуда:
\[ a \geq \frac{28}{6} \approx 4.67. \]
Таким образом, мы получаем два условия:
- \(3 \leq a < 5\)
- \(a \geq \frac{14}{3}\)
Теперь объединим оба условия:
\[ \frac{14}{3} \leq a < 5. \]
Это означает, что целые значения параметра \(a\) могут быть:
\(a = 5\) (но не включительно) и \(a = 4\).
Таким образом, единственное целое значение параметра \(a\), при котором корень уравнения \( (a - 5)x + a = 3\) находится в промежутке \([0; 5]\) — это \(a = 4\).
