3. Решите неравенство: а) 2х2 + 5х – 7 < 0; б) х2 – 25 > 0; в) 5х2 – 4х + 21 > 0. 4. Решите неравенство, используя метод интервалов: а) (х + 9) (х – 5) > 0; б) < 0.

Question 1

Задача Задача №1848191

А

Аноним

14 октября 2024 14:28 · публичный вопрос

А

Аноним 14 октября 2024 14:28

3. Решите неравенство: а) 2х2 + 5х – 7 < 0; б) х2 – 25 > 0; в) 5х2 – 4х + 21 > 0. 4. Решите неравенство, используя метод интервалов: а) (х + 9) (х – 5) > 0; б) < 0.

Answer

Давайте решим неравенства, которые вы представили!

3. Решите неравенства:

а) \(2x^2 + 5x - 7 < 0\)

Для решения этого неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения \(2x^2 + 5x - 7 = 0\). Используем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81. \]

Корни будут:

\[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 9}{4} = -3.5, \] \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 9}{4} = 1. \]

Теперь у нас есть корни \( x_1 = -3.5 \) и \( x_2 = 1 \). Поскольку коэффициент при \( x^2 \) положителен, парабола открыта вверх. Следовательно, неравенство \(2x^2 + 5x - 7 < 0\) будет выполнено между корнями:

\[ -3.5 < x < 1. \]

Ответ: \(-3.5 < x < 1\).

б) \(x^2 - 25 > 0\)

Это неравенство можно переписать как \( (x - 5)(x + 5) > 0\). Найдем корни:

Корни: \( x_1 = 5, \quad x_2 = -5 \).

Теперь определим, на каких интервалах произведение положительно. Рассмотрим интервалы:

\( (-\infty, -5) \)
\( (-5, 5) \)
\( (5, +\infty) \)

Проверим знак на каждом интервале:

Для \( x < -5 \) (например, \( x = -6 \)): \( (-)(-) = + \) (положительно)
Для \(-5 < x < 5\) (например, \( x = 0 \)): \( (-)(+) = - \) (отрицательно)
Для \( x > 5 \) (например, \( x = 6 \)): \( (+)(+) = + \) (положительно)

Следовательно, неравенство выполнено на интервалах:

Ответ: \( (-\infty, -5) \cup (5, +\infty) \).

в) \(5x^2 - 4x + 21 > 0\)

Аналогично первым двум, найдем дискриминант:

\[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 21 = 16 - 420 = -404. \]

Дискриминант отрицательный, значит, уравнение не имеет вещественных корней, и так как коэффициент \(5\) положителен, выражение всегда положительно.

Ответ: \( x \in \mathbb{R} \) (все вещественные числа).

4. Решите неравенство, используя метод интервалов:

а) \( (x + 9)(x - 5) > 0 \)

Находите корни: \( x_1 = -9, \quad x_2 = 5 \).

Интервалы:

\( (-\infty, -9) \)
\( (-9, 5) \)
\( (5, +\infty) \)

Проверяем знак на каждом интервале:

Для \( x < -9 \) (например, \( x = -10 \)): \( (-)(-) = + \) (положительно)
Для \(-9 < x < 5\) (например, \( x = 0 \)): \( (+)(-) = - \) (отрицательно)
Для \( x > 5 \) (например, \( x = 6 \)): \( (+)(+) = + \) (положительно)

Таким образом, неравенство выполнено на следующих интервалах:

Ответ: \( (-\infty, -9) \cup (5, +\infty) \).

б) Уточните неравенство, которое нужно решить, чтобы я мог помочь вам с ним!

Question 2

3. Решите неравенство: а) 2х2 + 5х – 7 < 0; б) х2 – 25 > 0; в) 5х2 – 4х + 21 > 0. 4. Решите неравенство, используя метод интервалов: а) (х + 9) (х – 5) > 0; б) < 0.

Answer

Давайте решим неравенства, которые вы представили! ### 3. Решите неравенства: **а) \(2x^2 + 5x - 7 < 0\)** Для решения этого неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения \(2x^2 + 5x - 7 = 0\). Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81. \] Корни будут: \[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 9}{4} = -3.5, \] \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 9}{4} = 1. \] Теперь у нас есть корни \( x_1 = -3.5 \) и \( x_2 = 1 \). Поскольку коэффициент при \( x^2 \) положителен, парабола открыта вверх. Следовательно, неравенство \(2x^2 + 5x - 7 < 0\) будет выполнено между корнями: \[ -3.5 < x < 1. \] **Ответ:** \(-3.5 < x < 1\). --- **б) \(x^2 - 25 > 0\)** Это неравенство можно переписать как \( (x - 5)(x + 5) > 0\). Найдем корни: Корни: \( x_1 = 5, \quad x_2 = -5 \). Теперь определим, на каких интервалах произведение положительно. Рассмотрим интервалы: 1. \( (-\infty, -5) \) 2. \( (-5, 5) \) 3. \( (5, +\infty) \) Проверим знак на каждом интервале: - Для \( x < -5 \) (например, \( x = -6 \)): \( (-)(-) = + \) (положительно) - Для \(-5 < x < 5\) (например, \( x = 0 \)): \( (-)(+) = - \) (отрицательно) - Для \( x > 5 \) (например, \( x = 6 \)): \( (+)(+) = + \) (положительно) Следовательно, неравенство выполнено на интервалах: **Ответ:** \( (-\infty, -5) \cup (5, +\infty) \). --- **в) \(5x^2 - 4x + 21 > 0\)** Аналогично первым двум, найдем дискриминант: \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 21 = 16 - 420 = -404. \] Дискриминант отрицательный, значит, уравнение не имеет вещественных корней, и так как коэффициент \(5\) положителен, выражение всегда положительно. **Ответ:** \( x \in \mathbb{R} \) (все вещественные числа). --- ### 4. Решите неравенство, используя метод интервалов: **а) \( (x + 9)(x - 5) > 0 \)** Находите корни: \( x_1 = -9, \quad x_2 = 5 \). Интервалы: 1. \( (-\infty, -9) \) 2. \( (-9, 5) \) 3. \( (5, +\infty) \) Проверяем знак на каждом интервале: - Для \( x < -9 \) (например, \( x = -10 \)): \( (-)(-) = + \) (положительно) - Для \(-9 < x < 5\) (например, \( x = 0 \)): \( (+)(-) = - \) (отрицательно) - Для \( x > 5 \) (например, \( x = 6 \)): \( (+)(+) = + \) (положительно) Таким образом, неравенство выполнено на следующих интервалах: **Ответ:** \( (-\infty, -9) \cup (5, +\infty) \). --- **б)** Уточните неравенство, которое нужно решить, чтобы я мог помочь вам с ним!