в четырёхугольнике ABCD ,BO=OD ,угол ABD = углу CDB, докажите что четырёхугольник,ABCD паралелограмм

Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, воспользуемся известными свойствами уголков и отрезков в фигурах.

1. По условию задачи известно, что \(BO = OD\). Это значит, что отрезки BO и OD равны.

2. Также дано, что угол \(ABD\) равен углу \(CDB\) (обозначим его как \(\angle ABD = \angle CDB\)).

3. Используя эти данные, посмотрим на треугольники \(ABD\) и \(CDB\):

   • У треугольника \(ABD\) есть сторона \(AB\) и угол \(\angle ABD\).
   • У треугольника \(CDB\) есть сторона \(CB\) и угол \(\angle CDB\).

4. Поскольку \(BO = OD\), то отрезки \(OB\) и \(OD\) являются равными (репрезентируют одну и ту же длину).

5. Углы при совпадающих вершинах эти два треугольника равны, что позволяет использовать признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними.

6. Следовательно, треугольники \(ABD\) и \(CDB\) равны по двум сторонам и углу (сторона ABD равна стороне CDB, угол ABD равен углу CDB).

7. Из условия равенства треугольников вытекает, что соответствующие стороны треугольников также равны. То есть: \[ AB = CD \] и \[ AD = BC \] (так как противостоящая сторона равна).

8. Мы доказали, что противоположные стороны (AB и CD, AD и BC) равны, что по определению параллелограмма определяет, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Таким образом, на основании равенства сторон и углов, четырехугольник ABCD действительно является параллелограммом.