В треугольнике АВС: ВС =5√6, угол А=60°, угол С=45°.найдите сторону АВ

Для того чтобы найти сторону \( AB \) в треугольнике \( ABC \), нам нужно использовать закон синусов или закон косинусов. Так как в нашем случае известны два угла и сторона, удобнее всего воспользоваться законом синусов.

Давайте запишем, что угол \( B \) в треугольнике \( ABC \) можно найти, используя сумму углов треугольника:

\[ \angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ. \]

Теперь у нас есть:

• \( \angle A = 60^\circ \)
• \( \angle B = 75^\circ \)
• \( \angle C = 45^\circ \)
• \( BC = 5\sqrt{6} \)

По закону синусов:

\[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{AB}{\sin 45^\circ} = \frac{5\sqrt{6}}{\sin 60^\circ}. \]

Значения синусов:

• \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
• \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Теперь подставим эти значения в уравнение:

\[ \frac{AB}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{5\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}. \]

Упростим правую часть:

\[ \frac{5\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 5\sqrt{6} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{10\sqrt{18}}{3} = \frac{30\sqrt{2}}{3} = 10\sqrt{2}. \]

Теперь у нас:

\[ \frac{AB}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 10\sqrt{2}. \]

Перемножим обе стороны на \( \frac{\sqrt{2}}{2} \):

\[ AB = 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10 \cdot \frac{2}{2} = 10. \]

Таким образом, длина стороны \( AB \) равна \( 10 \).