В среднем по 15% договоров страховая компания выплачивает страховую сумму. Найти вероятность того, что из десяти договоров с наступлением страхового случая будет связано с выплатой страховой суммы: а) три договора; б) менее двух договоров.

Question 1

Задача Задача №1849326

А

Аноним

14 октября 2024 15:19 · публичный вопрос

А

Аноним 14 октября 2024 15:19

В среднем по 15% договоров страховая компания выплачивает страховую сумму. Найти вероятность того, что из десяти договоров с наступлением страхового случая будет связано с выплатой страховой суммы: а) три договора; б) менее двух договоров.

Answer

Чтобы найти вероятность того, что из десяти договоров страховая компания выплатит страховую сумму в соответствии с заданными условиями, мы можем использовать биномиальное распределение. В данном случае:

\( n = 10 \) — общее количество договоров,
\( p = 0.15 \) — вероятность выплаты по одному договору.

Формула для расчета вероятности \( P(X = k) \) для биномиального распределения выглядит так:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]

где \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который рассчитывается по формуле:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Теперь разберем оба случая.

а) Вероятность того, что будет связано с выплатой три договора (\( k = 3 \)):

Сначала найдем биномиальный коэффициент \( C(10, 3) \):

\[ C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10 - 3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120 \]

Затем подставим значения в формулу:

\[ P(X = 3) = C(10, 3) \cdot (0.15)^3 \cdot (0.85)^{10 - 3} \]

Произведем расчеты:

\[ P(X = 3) = 120 \cdot (0.15)^3 \cdot (0.85)^7 \] \[ = 120 \cdot 0.003375 \cdot 0.391353 \] \[ \approx 120 \cdot 0.001320116 = 0.158414 \]

Итак, вероятность того, что будет связано с выплатой три договора, примерно равна 0.158.

б) Вероятность того, что будет связано с выплатой менее двух договоров (\( k < 2 \)):

Это означает, что нужно рассмотреть случаи \( k = 0 \) и \( k = 1 \).

Для \( k = 0 \):

\[ P(X = 0) = C(10, 0) \cdot (0.15)^0 \cdot (0.85)^{10} \] \[ = 1 \cdot 1 \cdot (0.85)^{10} \approx 0.196874 \]

Для \( k = 1 \):

\[ P(X = 1) = C(10, 1) \cdot (0.15)^1 \cdot (0.85)^{9} \] \[ = 10 \cdot 0.15 \cdot (0.85)^9 \approx 10 \cdot 0.15 \cdot 0.232800 \] \[ \approx 10 \cdot 0.03492 \approx 0.3492 \]

Теперь суммируем вероятности для \( k = 0 \) и \( k = 1 \):

\[ P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) \approx 0.196874 + 0.3492 \approx 0.546074 \]

Таким образом, вероятность того, что будет связано с выплатой менее двух договоров, примерно равна 0.546.

Надеюсь, это поможет вам понять, как решить подобные задачи! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.

Question 2

В среднем по 15% договоров страховая компания выплачивает страховую сумму. Найти вероятность того, что из десяти договоров с наступлением страхового случая будет связано с выплатой страховой суммы: а) три договора; б) менее двух договоров.

Answer

Чтобы найти вероятность того, что из десяти договоров страховая компания выплатит страховую сумму в соответствии с заданными условиями, мы можем использовать биномиальное распределение. В данном случае: - \( n = 10 \) — общее количество договоров, - \( p = 0.15 \) — вероятность выплаты по одному договору. Формула для расчета вероятности \( P(X = k) \) для биномиального распределения выглядит так: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \] где \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который рассчитывается по формуле: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] Теперь разберем оба случая. ### а) Вероятность того, что будет связано с выплатой три договора (\( k = 3 \)): 1. Сначала найдем биномиальный коэффициент \( C(10, 3) \): \[ C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10 - 3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120 \] 2. Затем подставим значения в формулу: \[ P(X = 3) = C(10, 3) \cdot (0.15)^3 \cdot (0.85)^{10 - 3} \] 3. Произведем расчеты: \[ P(X = 3) = 120 \cdot (0.15)^3 \cdot (0.85)^7 \] \[ = 120 \cdot 0.003375 \cdot 0.391353 \] \[ \approx 120 \cdot 0.001320116 = 0.158414 \] Итак, вероятность того, что будет связано с выплатой три договора, примерно равна 0.158. ### б) Вероятность того, что будет связано с выплатой менее двух договоров (\( k < 2 \)): Это означает, что нужно рассмотреть случаи \( k = 0 \) и \( k = 1 \). 1. **Для \( k = 0 \)**: \[ P(X = 0) = C(10, 0) \cdot (0.15)^0 \cdot (0.85)^{10} \] \[ = 1 \cdot 1 \cdot (0.85)^{10} \approx 0.196874 \] 2. **Для \( k = 1 \)**: \[ P(X = 1) = C(10, 1) \cdot (0.15)^1 \cdot (0.85)^{9} \] \[ = 10 \cdot 0.15 \cdot (0.85)^9 \approx 10 \cdot 0.15 \cdot 0.232800 \] \[ \approx 10 \cdot 0.03492 \approx 0.3492 \] 3. Теперь суммируем вероятности для \( k = 0 \) и \( k = 1 \): \[ P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) \approx 0.196874 + 0.3492 \approx 0.546074 \] Таким образом, вероятность того, что будет связано с выплатой менее двух договоров, примерно равна 0.546. Надеюсь, это поможет вам понять, как решить подобные задачи! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.