Сколько всего пятизначных чисел можно составить из цифр 1 1 , 3 3 , 7 7 , 2 2 , 4 4 , если известно, что каждая цифра используется при составлении числа только один раз? Определи…

Для того чтобы определить, сколько всего пятизначных чисел можно составить из данных цифр, нужно учитывать, что у нас есть цифры с повторениями: две единицы и две тройки. Пятизначное число может быть составлено из любых пяти цифр из набора {1, 1, 3, 3, 2, 7, 4}.

1. Количество способов выбрать 5 цифр:

   • Если мы выбираем 2 единицы и 2 тройки, то остается только одна цифра, которую мы можем выбрать из {2, 7, 4}. То есть, у нас три варианта (каждый из {2, 7, 4} можно выбрать).

   • Если выбираем 1 единицу и 2 тройки, то остаются четыре цифры {1, 3, 2, 7, 4}; мы можем выбрать ещё две. Возможные комбинации это:

     • 1(2), 1(4) – 1, 3, 2, 4
     • 1(2), 3(4) – 1, 3, 2, 7
     • 1(7), 1(3) – 1.

2. Рассчитаем общее количество чисел: Мы можем использовать формулу для подсчета перестановок с повторениями: \[ \frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdots k_m!} \] где \( n \) — общее количество цифр, \( k_i \) — количество повторяющихся цифр.

   Например, для выборок, где есть две единицы и две тройки: \[ \text{Общее количество перестановок} = \frac{5!}{2! \cdot 2!} \] \( 5! = 120 \) и \( 2! = 2 \), имеем: \[ \frac{120}{2 \cdot 2} = \frac{120}{4} = 30 \]

3. Поиск наименьшего пятизначного числа: Мы можем составить наименьшее число, располагая цифры в порядке возрастания. Наименьшее пятизначное число, используя данные цифры, это:

   • 1, 1, 2, 3, 3, что дает нам: 11233.

Таким образом, общее количество пятизначных чисел, которые можно составить, равно 30, а наименьшее из них — 11233.