|x^2-2x+1|>=3-x

Чтобы решить неравенство |x² - 2x + 1| ≥ 3 - x, начнем с упрощения выражения.

1. Заметим, что выражение внутри модуля можно факторизовать: x² - 2x + 1 = (x - 1)².

Таким образом, неравенство можно переписать как: | (x - 1)² | ≥ 3 - x.

2. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, модуль можно убрать, и неравенство преобразуется в: (x - 1)² ≥ 3 - x.

3. Переносим все члены в одну сторону: (x - 1)² + x - 3 ≥ 0.

4. Раскроем квадрат: x² - 2x + 1 + x - 3 ≥ 0, x² - x - 2 ≥ 0.

5. Теперь найдем корни квадратного уравнения x² - x - 2 = 0. Используем формулу корней: x = [1 ± √(1² - 4 * 1 * (-2))] / (2 * 1) = [1 ± √(1 + 8)] / 2 = [1 ± 3] / 2.

Таким образом, корни уравнения: x₁ = 2 и x₂ = -1.

6. Теперь факторизуем: (x - 2)(x + 1) ≥ 0.

7. Для решения неравенства определим интервалы:

• (-∞, -1)
• (-1, 2)
• (2, +∞)

Теперь проверим знаки на каждом из интервалов:

• Для x < -1 (например, x = -2): (-)(-) = + (положительно)
• Для -1 < x < 2 (например, x = 0): (-)(+) = - (отрицательно)
• Для x > 2 (например, x = 3): (+)(+) = + (положительно)

8. Таким образом, неравенство выполняется на интервалах: (-∞, -1] и [2, +∞).

Итак, ответ в виде интервалов: x ∈ (-∞, -1] ∪ [2, +∞).