|2x^2+5x+15|>=18
Чтобы решить неравенство |2x² + 5x + 15| ≥ 18, начнем с работы с модулем и решим оба случая: когда выражение внутри модуля положительно и когда отрицательно.
Случай 1: 2x² + 5x + 15 ≥ 18 \[ 2x² + 5x + 15 - 18 ≥ 0 \] Упростим: \[ 2x² + 5x - 3 ≥ 0 \] Теперь найдем корни этого квадратного уравнения. Используем дискриминант: \[ D = b² - 4ac = 5² - 4 * 2 * (-3) = 25 + 24 = 49 \] Корни уравнения: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{1}{2} \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 7}{4} = -3 \] Теперь у нас есть корни \(x_1 = \frac{1}{2}\) и \(x_2 = -3\). Теперь нужно исследовать знаки функции \(2x² + 5x - 3\) на интервалах, которые определяются этими корнями: \((-∞, -3)\), \((-3, \frac{1}{2})\) и \((\frac{1}{2}, +∞)\).
- На интервале \((-∞, -3)\): подставим \(x = -4\): \[ 2(-4)² + 5(-4) - 3 = 32 - 20 - 3 = 9 > 0 \quad \text{(положительно)} \]
- На интервале \((-3, \frac{1}{2})\): подставим \(x = 0\): \[ 2(0)² + 5(0) - 3 = -3 < 0 \quad \text{(отрицательно)} \]
- На интервале \((\frac{1}{2}, +∞)\): подставим \(x = 1\): \[ 2(1)² + 5(1) - 3 = 2 + 5 - 3 = 4 > 0 \quad \text{(положительно)} \]
Следовательно, \(2x² + 5x - 3 ≥ 0\) на интервалах \((-∞, -3]\) и \([\frac{1}{2}, +∞)\).
Случай 2: 2x² + 5x + 15 ≤ -18 \[ 2x² + 5x + 15 + 18 ≤ 0 \] Упростим: \[ 2x² + 5x + 33 ≤ 0 \] Здесь, посчитаем дискриминант: \[ D = 5² - 4 * 2 * 33 = 25 - 264 = -239 \] Дискриминант отрицательный, значит, уравнение не имеет действительных корней, и \(2x² + 5x + 33 > 0\) на всей числовой прямой.
Таким образом, неравенство |2x² + 5x + 15| ≥ 18 выполняется, когда \(x \in (-∞, -3] \cup [\frac{1}{2}, +∞)\).
Это и есть решение данного неравенства.
