На координальной плоскости нарисован равнобедренный треугольник ABC с основанием AC, где A(-3;0), B(0;5), C(a;b) и точка C лежит на оси абсцисс. Найдите сумму a+b.
Давайте разберемся с вашим вопросом шаг за шагом.
Мы знаем, что треугольник ABC является равнобедренным с основанием AC. Точка \(C(a; b)\) лежит на оси абсисс, что означает, что \(b = 0\). Таким образом, координаты точки \(C\) можно представить как \(C(a; 0)\).
Теперь, чтобы треугольник был равнобедренным, стороны \(AB\) и \(BC\) должны быть равны. Рассчитаем длины этих сторон:
Длина \(AB\) можно найти по формуле расстояния между двумя точками: \[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(0 - (-3))^2 + (5 - 0)^2} = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \]
Длина \(BC\): \[ BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} = \sqrt{(a - 0)^2 + (0 - 5)^2} = \sqrt{a^2 + 5^2} = \sqrt{a^2 + 25} \]
Для равенства сторон \(AB\) и \(BC\) мы можем записать уравнение: \[ \sqrt{34} = \sqrt{a^2 + 25} \]
Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня: \[ 34 = a^2 + 25 \]
Вычтем 25 из обеих сторон: \[ a^2 = 34 - 25 = 9 \]
Теперь найдем \(a\): \[ a = ±3 \]
Так как точка C должна быть на оси абсцисс, и \(a\) представляет координату по оси X, мы примем \(a = 3\) (для \(a = -3\) точка C совпадала бы с A).
Теперь мы можем найти сумму \(a + b\): \[ a + b = 3 + 0 = 3 \]
Таким образом, ответ на ваш вопрос: сумма \(a + b = 3\).
