Площадь боковой поверхности конуса вдвое больше площади его осования. Найдите угол развертки боковой поверхности.

Обозначим радиус основания конуса как \( r \) и высоту конуса как \( h \).

Площадь основания конуса \( S_{осн} \) вычисляется по формуле: \[ S_{осн} = \pi r^2 \]

Боковая поверхность конуса \( S_{бок} \) вычисляется по формуле: \[ S_{бок} = \pi r l, \] где \( l \) — образующая конуса, которая рассчитывается по теореме Пифагора: \[ l = \sqrt{r^2 + h^2}. \]

По условию задачи площадь боковой поверхности вдвое больше площади основания: \[ S_{бок} = 2 S_{осн}. \] Подставим значения: \[ \pi r l = 2 \pi r^2. \] Упрощая, получаем: \[ r l = 2 r^2. \] Если \( r \neq 0 \), то можем сократить на \( r \): \[ l = 2r. \]

Теперь подставим это значение образующей в формулу: \[ l = \sqrt{r^2 + h^2} = 2r. \] Возводим в квадрат оба бокса: \[ r^2 + h^2 = (2r)^2, \] \[ r^2 + h^2 = 4r^2. \] Переносим \( r^2 \) в левую часть: \[ h^2 = 4r^2 - r^2, \] \[ h^2 = 3r^2. \] Таким образом, высота конуса равна: \[ h = \sqrt{3}r. \]

Теперь найдем угол развертки боковой поверхности. Угол развертки \( \alpha \) — это угол между образующей и высотой. В данном случае используется тригонометрическая функция тангенс: \[ \tan \alpha = \frac{h}{r}. \] Подставим значение высоты: \[ \tan \alpha = \frac{\sqrt{3}r}{r} = \sqrt{3}. \] Таким образом, угол развертки \( \alpha \) равен: \[ \alpha = \arctan(\sqrt{3}). \] Отсюда: \[ \alpha = 60^\circ. \]

Следовательно, угол развертки боковой поверхности конуса равен \( 60^\circ \).