x²-3x+2>0 решить методом интервалов
Чтобы решить неравенство \(x^2 - 3x + 2 > 0\) методом интервалов, начнем с нахождения его корней. Для этого мы можем решить соответствующее квадратное уравнение:
\[x^2 - 3x + 2 = 0.\]
Для нахождения корней воспользуемся дискриминантом:
\[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1. \]
Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня. Находим их по формуле:
\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 1}{2} = 2, \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 1}{2} = 1. \]
Таким образом, корни уравнения \(x^2 - 3x + 2 = 0\) — это \(x_1 = 1\) и \(x_2 = 2\).
Теперь разложим неравенство на интервалы, используя найденные корни. У нас есть три интервала, которые нужно проверить:
- \( (-\infty, 1) \)
- \( (1, 2) \)
- \( (2, +\infty) \)
Теперь выбираем произвольные точки из каждого интервала и подставляем их в неравенство \(x^2 - 3x + 2\):
Для интервала \((- \infty, 1)\): выберем \(x = 0\): \[ 0^2 - 3 \cdot 0 + 2 = 2 > 0. \] Таким образом, неравенство выполняется.
Для интервала \((1, 2)\): выберем \(x = 1.5\): \[ (1.5)^2 - 3 \cdot 1.5 + 2 = 2.25 - 4.5 + 2 = -0.25 < 0. \] Неравенство не выполняется.
Для интервала \((2, +\infty)\): выберем \(x = 3\): \[ 3^2 - 3 \cdot 3 + 2 = 9 - 9 + 2 = 2 > 0. \] Неравенство выполняется.
Теперь мы можем подвести итог:
- Неравенство \(x^2 - 3x + 2 > 0\) выполняется на интервалах \((- \infty, 1)\) и \((2, +\infty)\).
Таким образом, решение неравенства:
\[ x \in (-\infty, 1) \cup (2, +\infty). \]
