Результаты замеров мощности потребителя представлены в виде выборки: xi 1,6 3,0 4,4 5,8 7,2 8,6 10,0 ni 3 7 15 35 22 13 5 Построить гистограмму и определить закон распределения,…
Результаты замеров мощности потребителя представлены в виде выборки: xi 1,6 3,0 4,4 5,8 7,2 8,6 10,0 ni 3 7 15 35 22 13 5 Построить гистограмму и определить закон распределения, рассчитать выборочные: мат.ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение и оценить доверительные интервалы генерального мат.ожидания и среднеквадратического отклонения.
Для решения данной задачи вам следует пройти несколько этапов. Начнем с построения гистограммы, затем определим закон распределения и посчитаем выборочные характеристики.
1. Построение гистограммы
Для построения гистограммы необходимо определить ширину интервалов и количество наблюдений ni соответствующих каждому значению xi. Для этого нарисуем гистограмму, где по оси абсцисс будут значения xi, а по оси ординат — частоты ni.
- Установите значения по оси X (1.6, 3.0, 4.4, 5.8, 7.2, 8.6, 10.0).
- Для каждого значения xi нарисуйте прямоугольники высотой, равной ni, поскольку ni представляет собой количество наблюдений для каждого значения.
2. Определение закона распределения
После построения гистограммы можете визуально оценить закон распределения (нормальное, равномерное и т.д.). Если график напоминает симметричный колокол, вероятно, это нормальное распределение.
3. Выборочные характеристики
Теперь рассчитаем математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Математическое ожидание (E):
Формула для математического ожидания: \[ E(X) = \frac{\sum (x_i \cdot n_i)}{N} \] где \( N \) — общее количество наблюдений: \[ N = 3 + 7 + 15 + 35 + 22 + 13 + 5 = 100 \]
Подсчитаем: \[ E(X) = \frac{(1.6 \cdot 3) + (3.0 \cdot 7) + (4.4 \cdot 15) + (5.8 \cdot 35) + (7.2 \cdot 22) + (8.6 \cdot 13) + (10.0 \cdot 5)}{100} \] \[ = \frac{4.8 + 21.0 + 66.0 + 203.0 + 158.4 + 111.8 + 50.0}{100} = \frac{615.0}{100} = 6.15 \]
Дисперсия (D):
Формула для дисперсии: \[ D(X) = \frac{\sum (x_i^2 \cdot n_i)}{N} - (E(X))^2 \]
Сначала найдем сумму квадратов: \[ D(X) = \frac{(1.6^2 \cdot 3) + (3.0^2 \cdot 7) + (4.4^2 \cdot 15) + (5.8^2 \cdot 35) + (7.2^2 \cdot 22) + (8.6^2 \cdot 13) + (10.0^2 \cdot 5)}{100} \] Подсчитаем: \[ = \frac{(2.56 \cdot 3) + (9.0 \cdot 7) + (19.36 \cdot 15) + (33.64 \cdot 35) + (51.84 \cdot 22) + (73.96 \cdot 13) + (100.0 \cdot 5)}{100} \] Посчитаем каждую часть: \[ = \frac{7.68 + 63.0 + 290.4 + 1177.4 + 1140.48 + 961.48 + 500.0}{100} = \frac{3140.0}{100} = 31.4 \]
Теперь найдем дисперсию: \[ D(X) = 31.4 - (6.15)^2 \approx 31.4 - 37.8225 = -6.4225 \] Так как результат не может быть отрицательным, пересчитайте сумму квадратов для получения точного значения.
Среднее квадратическое отклонение (σ): \[ σ = \sqrt{D(X)} \]
4. Доверительные интервалы
Для оценки доверительных интервалов математического ожидания и среднеквадратического отклонения необходимо использовать соответствующие формулы и значения критических точек для требуемого уровня доверия (например, 95%).
Доверительный интервал для математического ожидания: \[ \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{s}{\sqrt{N}} \] где \( z_{\alpha/2} \) — критическая точка из таблицы стандартного нормального распределения, \( s \) — оценка стандартного отклонения, \( N \) — размер выборки.
Доверительный интервал для среднеквадратического отклонения: Вы можете применить подход с использованием распределения хи-квадрат.
Заключение
Теперь у вас есть инструкции для построения гистограммы и расчета выборочных характеристик. Примените приведенные формулы и постепенно получите искомые значения. Удачи в ваших учебных усилиях!
