докажите что функции являются нечетными. f(х)=х2(2х-х3)
Для того чтобы доказать, что функция \( f(x) = x^2(2x - x^3) \) является нечетной, необходимо проверить определение нечетной функции.
Функция \( f(x) \) является нечетной, если выполняется следующее условие для всех \( x \) из области определения функции:
\[ f(-x) = -f(x) \]
Теперь давайте вычислим \( f(-x) \):
\[ f(-x) = (-x)^2(2(-x) - (-x)^3) \]
Вычислим поэтапно:
- \((-x)^2 = x^2\)
- \(2(-x) = -2x\)
- \((-x)^3 = -x^3\), следовательно, \( -(-x)^3 = x^3\)
Теперь подставим это в выражение:
\[ f(-x) = x^2(-2x + x^3) \]
Соберем все воедино:
\[ f(-x) = x^2(x^3 - 2x) \]
Теперь у нас есть:
\[ f(-x) = x^2(x^3 - 2x) \]
Теперь найдем \( -f(x) \):
\[ -f(x) = -\left(x^2(2x - x^3)\right) = -x^2(2x - x^3) \]
Сравним \( f(-x) \) и \( -f(x) \):
\[ f(-x) = x^2(x^3 - 2x) \] \[ -f(x) = -x^2(2x - x^3) = -x^2 \cdot 2x + x^2 \cdot x^3 = -2x^3 + x^5 \]
Приведем \( -f(x) \) к виду:
\[ -f(x) = -2x^3 + x^5 = x^2(x^3 - 2x) \]
Таким образом, мы видим, что:
\[ f(-x) = -f(x) \]
Следовательно, функция \( f(x) = x^2(2x - x^3) \) действительно является нечетной.
