В ящике 20 левых и 20 правых перчаток. Сколько нужно достать перчаток, не глядя в ящик, чтобы среди вынутых перчаток нашлась хотя бы одна левая и хотя бы одна правая перчатка: a)…

Для решения этой задачи давайте рассмотрим оба пункта по порядку.

а) Сколько нужно достать перчаток, чтобы с вероятностью 1 среди них была хотя бы одна левая и хотя бы одна правая?

Чтобы гарантировать наличие как минимум одной левой и одной правой перчатки, достаточно учесть самый неблагоприятный сценарий. Если вы будете вытаскивать перчатки, то в самом худшем случае вы можете достать все левые перчатки (или все правые), прежде чем вытянете перчатку противоположного типа.

Используя этот подход, вы можете сначала вытащить 20 левых перчаток (или 20 правых), что будет означать, что вы всё еще не имеете перчаток другого типа. Чтобы гарантировано получить хотя бы одну перчатку другого типа, вам нужно вытащить еще одну перчатку.

Таким образом, чтобы быть уверенным, что среди вытянутых перчаток будет хотя бы одна левая и одна правая, вам нужно вытащить:

\[ 20 + 1 = 21 \]

перчаток.

б) Сколько нужно достать перчаток, чтобы с вероятностью не меньше чем 0,95 было хотя бы одна левая и одна правая перчатка?

В данном случае мы можем использовать метод вероятностей. Будем рассматривать, сколько перчаток нужно вытащить, чтобы вероятность вытянуть хотя бы одну перчатку каждого типа была не меньше 0,95.

Для этого сначала определим вероятность того, что вы вытянете только один тип перчаток. Если вы вытащите \( n \) перчаток, то максимальная вероятность того, что они все будут одного типа (например, все левые), равна:

\[ P(\text{все одинаковые}) = P(\text{все левые}) + P(\text{все правые}) = \left(\frac{20}{40}\right)^n + \left(\frac{20}{40}\right)^n = 2 \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{2}{2^n} \]

Тогда вероятность того, что среди вытянутых \( n \) перчаток будет хотя бы одна левая и одна правая:

\[ P(\text{хотя бы одна левая и одна правая}) = 1 - P(\text{все одинаковые}) = 1 - \frac{2}{2^n} \]

Чтобы эта вероятность была больше или равна 0,95, нужно решить неравенство:

\[ 1 - \frac{2}{2^n} \geq 0,95 \]

Это можно переписать как:

\[ \frac{2}{2^n} \leq 0,05 \]

Умножим обе стороны на \( 2^n \) и упростим:

\[ 2 \leq 0,05 \cdot 2^n \]

Это приводит нас к:

\[ 2^n \geq \frac{2}{0,05} = 40 \]

Теперь находим минимальное \( n \):

\[ n \geq \log_2{40} \]

Приблизительно:

\[ \log_2{40} \approx 5,32 \]

Округляя в большую сторону, получаем \( n = 6 \).

Таким образом, чтобы с вероятностью не менее 0,95 быть уверенным, что среди вытащенных перчаток будет хотя бы одна левая и одна правая, нужно вытащить как минимум 6 перчаток.