x(x-1)(x+5)>0

Чтобы решить неравенство \( x(x-1)(x+5) > 0 \), выполняем следующие шаги:

1. Найдем нули функции: Для этого приравняем выражение к нулю: \[ x(x-1)(x+5) = 0. \] Это уравнение равно нулю, когда:

   • \( x = 0 \),
   • \( x - 1 = 0 \) ⇒ \( x = 1 \),
   • \( x + 5 = 0 \) ⇒ \( x = -5 \).

   Таким образом, нули функции: \( x = -5, 0, 1 \).

2. Определим промежутки: Нули разбивают числовую прямую на четыре интервала:

   • \( (-\infty, -5) \)
   • \( (-5, 0) \)
   • \( (0, 1) \)
   • \( (1, +\infty) \)

3. Проверим знак выражения на каждом интервале:

   • Для \( x < -5 \) (например, \( x = -6 \)): \[ -6(-6-1)(-6+5) = -6 \cdot -7 \cdot -1 = -42 \quad (\text{отрицательно}). \]
   • Для \( -5 < x < 0 \) (например, \( x = -1 \)): \[ -1(-1-1)(-1+5) = -1 \cdot -2 \cdot 4 = 8 \quad (\text{положительно}). \]
   • Для \( 0 < x < 1 \) (например, \( x = 0.5 \)): \[ 0.5(0.5-1)(0.5+5) = 0.5 \cdot -0.5 \cdot 5.5 = -1.375 \quad (\text{отрицательно}). \]
   • Для \( x > 1 \) (например, \( x = 2 \)): \[ 2(2-1)(2+5) = 2 \cdot 1 \cdot 7 = 14 \quad (\text{положительно}). \]

4. Соберем результаты:

   • На первом интервале \( (-\infty, -5) \): знак отрицательный,
   • На втором интервале \( (-5, 0) \): знак положительный,
   • На третьем интервале \( (0, 1) \): знак отрицательный,
   • На четвертом интервале \( (1, +\infty) \): знак положительный.

5. Итог: Неравенство \( x(x-1)(x+5) > 0 \) выполняется на интервалах: \[ (-5, 0) \cup (1, +\infty). \]

Таким образом, решение неравенства: \( x \in (-5, 0) \cup (1, +\infty) \).