Реши методом интервала (x - 4)(x + 1)(x - 11) > 0
Чтобы решить неравенство \((x - 4)(x + 1)(x - 11) > 0\) методом интервалов, следуем следующей последовательности шагов:
Найдем нули произведения: Для этого приравняем каждую скобку к нулю: \[ x - 4 = 0 \implies x = 4, \\ x + 1 = 0 \implies x = -1, \\ x - 11 = 0 \implies x = 11. \] Таким образом, нули функции: \(x = -1\), \(x = 4\), \(x = 11\).
Определим интервалы: Нули делят числовую прямую на четыре интервала:
- \( (-\infty, -1) \)
- \( (-1, 4) \)
- \( (4, 11) \)
- \( (11, +\infty) \)
Выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в неравенство \((x - 4)(x + 1)(x - 11)\) для определения знака:
Для интервала \((- \infty, -1)\): выберем точку \(x = -2\): \[ (-2 - 4)(-2 + 1)(-2 - 11) = (-6)(-1)(-13) = -78 < 0. \]
Для интервала \((-1, 4)\): выберем точку \(x = 0\): \[ (0 - 4)(0 + 1)(0 - 11) = (-4)(1)(-11) = 44 > 0. \]
Для интервала \((4, 11)\): выберем точку \(x = 5\): \[ (5 - 4)(5 + 1)(5 - 11) = (1)(6)(-6) = -36 < 0. \]
Для интервала \((11, +\infty)\): выберем точку \(x = 12\): \[ (12 - 4)(12 + 1)(12 - 11) = (8)(13)(1) = 104 > 0. \]
Соберем результаты:
- В интервалах \((- \infty, -1)\) и \((4, 11)\) значение неравенства отрицательно.
- В интервалах \((-1, 4)\) и \((11, +\infty)\) значение неравенства положительно.
Принимаем во внимание точки: Так как неравенство строгое (\(>\)), мы не включаем нули в ответ.
Таким образом, решение неравенства \((x - 4)(x + 1)(x - 11) > 0\) будет: \[ x \in (-1, 4) \cup (11, +\infty). \]
