Дан треугольник ABC AC=37,2см; <B=60°; <C=45°. Найдите сторону AB. (ответ упростить до наименьшего натурального числа под знаком корня)

Для нахождения стороны AB в треугольнике ABC, где известны длина стороны AC и углы B и C, вы можете использовать закон синусов. Согласно закону синусов, для любого треугольника справедливо:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

Где:

• \(a\), \(b\), \(c\) — стороны треугольника,
• \(A\), \(B\), \(C\) — соответственно противолежащие углы.

В нашем случае:

• \(AC = 37.2 \, \text{см}\) — это сторона \(b\) (против угла B),
• угол \(B = 60^\circ\),
• угол \(C = 45^\circ\).

Сначала найдем угол \(A\): \[ A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ. \]

Теперь подставим известные значения в закон синусов. Сторона \(AB\) (обозначим её как \(c\)) противолежит углу \(C\), так что мы можем использовать соотношение:

\[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin A}. \]

Подставляем значения:

\[ \frac{AB}{\sin 45^\circ} = \frac{37.2}{\sin 75^\circ}. \]

Значения синусов:

\[ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}. \]

Теперь подставим:

\[ \frac{AB}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{37.2}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}. \]

Умножим обе части на \(\frac{\sqrt{2}}{2}\):

\[ AB = \frac{37.2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{37.2 \cdot \sqrt{2} \cdot 4}{2(\sqrt{6} + \sqrt{2})} = \frac{74.4 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}. \]

Теперь приведем к общему виду и упростим:

\[ AB = \frac{74.4\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{74.4\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{74.4\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}. \]

Далее упростим полученное выражение и представим результат в наименьшем натуральном числе под знаком корня.

Значит:

\[ AB = \frac{18.6\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{1}. \]

Это значение можно представить как:

\[ AB = 18.6 (\sqrt{12} - \sqrt{4}) = 18.6 \cdot (2\sqrt{3} - 2). \]

Таким образом, ответ можно записать в упрощенном виде под знаком корня, где конечный ответ будет:

\[ AB \approx 18.6 \sqrt{2} (\sqrt{6} - 1). \]

Важно округлить и привести к чисто натуральному числу под корнем. В данном случае, чтобы упростить, можно округлить результат:

\[ AB \approx 18. \]

Итак, сторона AB равна \(\sqrt{18}\).