|x²-1|+|x²+x|=0

Чтобы решить уравнение \(|x²-1| + |x²+x| = 0\), нужно учесть, что сумма двух модулей равна нулю только в том случае, если оба модуля равны нулю.

1. Разберем каждый модуль:

   • \(|x²-1| = 0\)
   • \(|x²+x| = 0\)

2. Начнем с первого модуля: \(|x²-1| = 0\) означает, что \(x² - 1 = 0\). Это уравнение можно решить так: \[ x² - 1 = 0 \implies x² = 1 \implies x = 1 \quad \text{или} \quad x = -1. \]

3. Теперь рассмотрим второй модуль: \(|x²+x| = 0\) означает, что \(x² + x = 0\). Это уравнение можно записать как: \[ x(x + 1) = 0. \] Таким образом, у нас есть два решения: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = -1. \]

4. Теперь соберем все найденные решения:

   • Первое уравнение дало \(x = 1\) и \(x = -1\).
   • Второе уравнение дало \(x = 0\) и \(x = -1\).

5. Совместив все решения, получаем: \(x = 1\), \(x = -1\), \(x = 0\).

6. Однако, так как мы ищем решения, при которых оба модуля равны нулю одновременно, проверим эти значения.

   • Для \(x = 1\): \[ |1^2 - 1| + |1^2 + 1| = |0| + |2| = 0 + 2 \neq 0. \]
   • Для \(x = -1\): \[ |-1^2 - 1| + |-1^2 - 1| = |0| + |0| = 0. \]
   • Для \(x = 0\): \[ |0^2 - 1| + |0^2 + 0| = | -1 | + |0| = 1 + 0 \neq 0. \]

Таким образом, единственным решением уравнения \(|x²-1| + |x²+x| = 0\) является \(x = -1\).