Задание 2: У Лёни есть несколько пятирублёвых и несколько десятирублёвых монет. Он хочет купить как можно больше пицц в школьной столовой. После долгих вычислений Лёня заметил,…
Задание 2: У Лёни есть несколько пятирублёвых и несколько десятирублёвых монет. Он хочет купить как можно больше пицц в школьной столовой. После долгих вычислений Лёня заметил, что с помощью всех своих пятирублёвых монет и ещё 40 рублей он может купить ровно 4 пиццы без сдачи, а с помощью всех своих десятирублёвых монет и ещё 50 рублей он может купить ровно 5 пицц без сдачи. При этом у Лёни хватает денег на 6 пицц без сдачи.
Чтобы понять, сколько у Лёни пятирублёвых и десятирублёвых монет, начнём с анализа информации, которую мы имеем.
Первая ситуация: Лёня может купить 4 пиццы, используя все пятирублёвые монеты и 40 рублей. Пусть цена одной пиццы равна P рублей. Тогда: \[ 4P = 5x + 40 \] где \( x \) — количество пятирублёвых монет.
Вторая ситуация: Он может купить 5 пицц, используя все десятирублёвые монеты и 50 рублей. Тогда: \[ 5P = 10y + 50 \] где \( y \) — количество десятирублёвых монет.
Третья ситуация: Лёня хватает денег на 6 пицц без сдачи: \[ 6P = 5x + 10y \]
Теперь у нас есть 3 уравнения:
- \( 4P = 5x + 40 \) (1)
- \( 5P = 10y + 50 \) (2)
- \( 6P = 5x + 10y \) (3)
Теперь будем решать систему уравнений.
Из уравнения (1) можем выразить P: \[ P = \frac{5x + 40}{4} \]
Подставим P в уравнение (2): \[ 5 \cdot \frac{5x + 40}{4} = 10y + 50 \] Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дроби: \[ 5(5x + 40) = 40y + 200 \] Раскроем скобки: \[ 25x + 200 = 40y + 200 \] Сократим 200 с обеих сторон: \[ 25x = 40y \] Разделим на 5: \[ 5x = 8y \] Таким образом, \( x = \frac{8y}{5} \) (4).
Теперь подставим P в уравнение (3): \[ 6 \cdot \frac{5x + 40}{4} = 5x + 10y \] Умножим обе стороны на 4: \[ 6(5x + 40) = 20x + 40y \] Раскроем скобки: \[ 30x + 240 = 20x + 40y \] Переносим все переменные на одну сторону: \[ 10x = 40y - 240 \] Разделим на 10: \[ x = 4y - 24 \]
Теперь у нас есть две зависимости для x:
- \( x = \frac{8y}{5} \) (из уравнения (4))
- \( x = 4y - 24 \)
Приравняем эти два выражения: \[ \frac{8y}{5} = 4y - 24 \] Умножим обе стороны на 5, чтобы избавиться от дроби: \[ 8y = 20y - 120 \] Переносим 20y влево: \[ 8y - 20y = -120 \] Соберём подобные: \[ -12y = -120 \] Таким образом, \( y = 10 \).
Теперь подставим y обратно, чтобы найти x: \[ x = \frac{8 \cdot 10}{5} = 16 \]
Теперь у нас есть:
- \( y = 10 \) (количество десятирублёвых монет)
- \( x = 16 \) (количество пятирублёвых монет)
Таким образом, у Лёни 16 пятирублёвых и 10 десятирублёвых монет.
