3x-x²>0

Чтобы решить неравенство \(3x - x^2 > 0\), сначала можно переписать его в более удобной форме:

\[ -x^2 + 3x > 0 \]

Давайте добавим \(x^2\) к обеим сторонам, чтобы сделать неравенство более привычным:

\[ 3x > x^2 \]

Теперь можно записать это неравенство в стандартной форме:

\[ x^2 - 3x < 0 \]

Следующий шаг — вынести \(x\) за скобки:

\[ x(x - 3) < 0 \]

Теперь мы имеем произведение двух множителей. Чтобы определить, при каких значениях \(x\) это произведение отрицательно, найдем корни уравнения:

1. \(x = 0\)
2. \(x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\)

Теперь у нас есть два критических значения: \(x = 0\) и \(x = 3\). Следующий шаг — исследовать знак произведения \(x(x - 3)\) на интервалах, которые образуются критическими точками:

1. Интервал \((-∞, 0)\): выберем \(x = -1\): \(-1 \cdot (-1 - 3) = -1 \cdot (-4) = 4 > 0\)

2. Интервал \((0, 3)\): выберем \(x = 1\): \(1 \cdot (1 - 3) = 1 \cdot (-2) = -2 < 0\)

3. Интервал \((3, +∞)\): выберем \(x = 4\): \(4 \cdot (4 - 3) = 4 \cdot 1 = 4 > 0\)

Теперь мы можем сделать вывод о знаке выражения \(x(x - 3)\):

• На интервале \((-∞, 0)\) — положительно.
• На интервале \((0, 3)\) — отрицательно.
• На интервале \((3, +∞)\) — положительно.

Поскольку неравенство требует, чтобы произведение было меньше нуля, решение неравенства:

\[ 0 < x < 3 \]

Таким образом, ответ: \(x\) принадлежит интервалу \((0, 3)\).