докажите неравенство 2х2+5у2-2ху-6х+4х+11≥0

Чтобы доказать неравенство \(2x^2 + 5y^2 - 2xy - 6x + 4x + 11 \geq 0\), начнем с упрощения его.

Сначала мы можем объединить подобные слагаемые:

\[ 2x^2 + 5y^2 - 2xy - 2x + 11 \geq 0 \]

Теперь мы можем исследовать это неравенство, рассматривая его как квадратичную функцию по переменной \(x\):

\[ f(x) = 2x^2 - 2x - 2xy + 5y^2 + 11 \]

Эта функция является квадратичной по \(x\). Для того чтобы квадратичная функция имела неотрицательные значения для всех \(x\), её дискриминант должен быть не положительным.

Дискриминант \(D\) квадратичной функции \(ax^2 + bx + c\) вычисляется по формуле:

\[ D = b^2 - 4ac \]

В нашем случае:

• \(a = 2\)
• \(b = -2 - 2y\)
• \(c = 5y^2 + 11\)

Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

\[ D = (-2 - 2y)^2 - 4(2)(5y^2 + 11) \]

Теперь упростим это выражение:

\[ D = (4 + 8y + 4y^2) - (40y^2 + 88) \] \[ D = 4 + 8y + 4y^2 - 40y^2 - 88 \] \[ D = -36y^2 + 8y - 84 \]

Теперь необходимо найти, при каких \(y\) этот дискриминант не положителен (т.е. \(D \leq 0\)). Рассмотрим квадратное уравнение:

\[ -36y^2 + 8y - 84 \leq 0 \]

Умножим на -1 (это меняет знак неравенства):

\[ 36y^2 - 8y + 84 \geq 0 \]

Чтобы изучить данное уравнение, найдем его дискриминант:

\[ D' = (-8)^2 - 4 \cdot 36 \cdot 84 \] \[ D' = 64 - 12144 \] \[ D' < 0 \]

Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение \(36y^2 - 8y + 84\) не имеет действительных корней и всегда положительно.

Следовательно, исходное неравенство \(2x^2 + 5y^2 - 2xy - 2x + 11 \geq 0\) верно для всех \(x\) и \(y\).

Таким образом, мы доказали, что неравенство выполняется.