Задача 17. Точка М - середина отрезка АВ. Точка M2 - середина отрезка М В. Точка Мз - середина отрезка М,В. Точка М4 - середина отрезка МзВ. Длина отрезка M>M4 равна 9. Найдите…

Давайте разберем задачу поэтапно.

1. Пусть точка A имеет координату 0, а точка B — координату L. Тогда длина отрезка AB составляет \( L \).
2. Точка M — середина отрезка AB, поэтому её координата: \[ M = \frac{0 + L}{2} = \frac{L}{2} \]
3. Точка M2 — середина отрезка MB: \[ M2 = \frac{M + B}{2} = \frac{\frac{L}{2} + L}{2} = \frac{\frac{L}{2} + \frac{2L}{2}}{2} = \frac{\frac{3L}{2}}{2} = \frac{3L}{4} \]
4. Точка M3 — середина отрезка M2B: \[ M3 = \frac{M2 + B}{2} = \frac{\frac{3L}{4} + L}{2} = \frac{\frac{3L}{4} + \frac{4L}{4}}{2} = \frac{\frac{7L}{4}}{2} = \frac{7L}{8} \]
5. Точка M4 — середина отрезка M3B: \[ M4 = \frac{M3 + B}{2} = \frac{\frac{7L}{8} + L}{2} = \frac{\frac{7L}{8} + \frac{8L}{8}}{2} = \frac{\frac{15L}{8}}{2} = \frac{15L}{16} \]

Теперь нам нужно найти длину отрезка \( MM4 \): \[ MM4 = M - M4 = \frac{L}{2} - \frac{15L}{16} \] Приведем дроби к общему знаменателю: \[ \frac{L}{2} = \frac{8L}{16} \] Тогда: \[ MM4 = \frac{8L}{16} - \frac{15L}{16} = \frac{8L - 15L}{16} = \frac{-7L}{16} \] Таким образом, длина отрезка \( MM4 \) равна: \[ MM4 = \frac{7L}{16} \]

Согласно условию задачи, длина отрезка \( MM4 = 9 \): \[ \frac{7L}{16} = 9 \]

Теперь найдём L: \[ 7L = 9 \cdot 16 \] \[ 7L = 144 \] \[ L = \frac{144}{7} \]

Таким образом, длина отрезка AB равна \( L = \frac{144}{7} \) или приблизительно \( 20.57 \).