В четырехугольнике ABCD, AB=CD, угол ABD=55°, угол CDB=55°, доказать, что ABCD - параллелограмм

Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом, нужно показать, что противолежащие стороны равны или углы равны. В данном случае мы можем использовать свойства углов в трапеции.

Дано:

• AB = CD (стороны)
• ∠ABD = 55°
• ∠CDB = 55°

1. Рассмотрим треугольник ABD:

   • В нём угол ABD равен 55°.
   • Пусть угол ADB равен α. Тогда угол BAD будет равен 180° - 55° - α = 125° - α.

2. Теперь рассмотрим треугольник CDB:

   • В нём угол CDB также равен 55°.
   • Пусть угол DBC равен β. Тогда угол BCD будет равен 180° - 55° - β = 125° - β.

3. Так как AB = CD и углы ABD и CDB равны, треугольники ABD и CDB подобны. Углы:

   • ∠ABD = ∠CDB = 55°,
   • ∠BAD = ∠BCD (так как они являются углами, имеющими общую сторону BD).

4. Теперь мы можем сказать, что углы ∠BAD и ∠BCD равны:

   • Углы A и C равны (∠BAD = ∠BCD).

5. Поскольку в четырёхугольнике ABCD:

   • Противолежащие углы равны (∠A = ∠C), и также AB = CD:
   • По свойству параллелограмма, если противолежащие углы равны и противолежащие стороны равны, то ABCD является параллелограммом.

Таким образом, мы доказали, что ABCD - параллелограмм.