"в выпуклом четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите что площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей. "

Так как диагонали взаимно перпендикулярны, каждая диагональ является высотой в треугольнике, образованном другой диагональю и двумя его сторонами. Площадь этого треугольника равна половине произведения основания на соответствующую высоту. В нашем случае основание равно длине одной диагонали, а высота равна длине другой диагонали. Поскольку у выпуклого четырёхугольника две пары сторон, и каждая пара ограничивает свой треугольник, общая площадь четырёхугольника будет равна сумме площадей этих треугольников. Каждая площадь треугольника равна половине произведения диагонали на сторону. Поэтому общая площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей.