В треугольнике АВС угол А равен 60°, угол В равен 45°, ВС = 5√6. Найдите АС.
Чтобы найти сторону АС в треугольнике ABC, где угол A равен 60°, угол B равен 45°, и сторона BC равна \( 5\sqrt{6} \), мы можем использовать теорему синусов.
Сначала найдем угол C. Сумма углов в треугольнике равна 180°:
\[ C = 180° - A - B = 180° - 60° - 45° = 75°. \]
Теперь у нас есть все углы треугольника: \( A = 60° \), \( B = 45° \), \( C = 75° \).
По теореме синусов:
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}, \]
где:
- \( a \) — сторона BC (против угла A),
- \( b \) — сторона AC (против угла B),
- \( c \) — сторона AB (против угла C).
Запишем, что:
\[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}. \]
Подставив известные значения, получаем:
\[ \frac{5\sqrt{6}}{\sin 60°} = \frac{AC}{\sin 45°}. \]
Зная, что \( \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \), можем выразить \( AC \):
\[ \frac{5\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}}. \]
Упрощая левую часть:
\[ \frac{5\sqrt{6} \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{2}. \]
Теперь, так как мы знаем, что:
\[ 10\sqrt{2} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}}, \]
умножаем обе стороны на \( \frac{\sqrt{2}}{2} \):
\[ AC = 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10 \cdot \frac{2}{2} = 10. \]
Таким образом, длина стороны AC равна 10.
Ответ: \( AC = 10 \).
