В треугольнике АВС угол А равен 60°, угол В равен 45°, ВС = 5√6. Найдите АС.

Для решения задачи используем теорему о синусах. В треугольнике ABC у нас имеются известные угол A (60°) и угол B (45°). Сначала найдем угол C:

Угол C = 180° - угол A - угол B = 180° - 60° - 45° = 75°.

Теперь у нас есть все углы треугольника: угол A = 60°, угол B = 45°, угол C = 75°.

По теореме о синусах мы знаем, что:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

где \( a \) — сторона BC, \( b \) — сторона AC, а \( c \) — сторона AB.

В нашей задаче:

• \( a = BC = 5\sqrt{6} \)
• \( A = 60° \)
• \( B = 45° \)
• \( C = 75° \)

Сначала найдем длину стороны AB:

\[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{5\sqrt{6}}{\sin 60°} = \frac{AB}{\sin 75°} \]

Зная, что \( \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( \sin 75° = \sin(45° + 30°) = \sin 45°\cos 30° + \cos 45°\sin 30° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \):

\[ \frac{5\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{AB}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} \]

Упрощая левой части:

\[ \frac{5\sqrt{6} \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{10\sqrt{18}}{3} = \frac{30\sqrt{2}}{3} = 10\sqrt{2} \]

Теперь у нас есть:

\[ 10\sqrt{2} = \frac{AB}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} \]

Преобразуем эту уравнение для нахождения AB:

\[ AB = 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{10\sqrt{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} = \frac{5\sqrt{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} \]

Далее, можем найти сторону AC (b) аналогично:

\[ \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} \]

Следовательно:

\[ AC = \frac{BC \cdot \sin B}{\sin A} = \frac{5\sqrt{6} \cdot \sin 45°}{\sin 60°} \]

Где \( \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \):

Теперь подставляем значения:

\[ AC = \frac{5\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 5\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 5\frac{\sqrt{12}}{3} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \]

Таким образом, длина стороны AC равна:

\[ AC = \frac{10\sqrt{3}}{3} \]

Если необходимо, можно упростить и оставить ответ в таком виде.