Две стороны треугольника равны 8 см и 4√3 см, а угол между ними – 30°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.

Чтобы найти третью сторону треугольника и его площадь, мы можем использовать теорему косинусов и формулу для площади треугольника.

1. Находим третью сторону. Обозначим стороны треугольника как \( a = 8 \, \text{см} \), \( b = 4\sqrt{3} \, \text{см} \), угол между ними \( C = 30^\circ \). По теореме косинусов, третья сторона \( c \) может быть найдена по формуле:

   \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \]

   Подставляем значения:

   \[ c^2 = 8^2 + (4\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 8 \cdot 4\sqrt{3} \cdot \cos(30^\circ) \]

   Вычислим каждую часть:

   • \( a^2 = 64 \)
   • \( b^2 = 48 \) (так как \( (4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48 \))
   • \( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

   Теперь подставим:

   \[ c^2 = 64 + 48 - 2 \cdot 8 \cdot 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]

   Упрощаем:

   \[ c^2 = 64 + 48 - 32 \cdot 3 \]

   Здесь \( 32 \cdot 3 = 96 \):

   \[ c^2 = 64 + 48 - 96 \] \[ c^2 = 112 - 96 = 16 \] \[ c = \sqrt{16} = 4 \, \text{см} \]

Таким образом, третья сторона треугольника \( c = 4 \, \text{см} \).

2. Находим площадь треугольника. Площадь \( S \) треугольника можно вычислить по формуле:

   \[ S = \frac{1}{2}ab \sin(C) \]

   Подставим известные значения:

   \[ S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4\sqrt{3} \cdot \sin(30^\circ) \]

   Здесь \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \):

   \[ S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4\sqrt{3} \cdot 0.5 = \frac{8 \cdot 4\sqrt{3}}{4} = 8\sqrt{3} \, \text{см}^2 \]

Таким образом, площадь треугольника \( S = 8\sqrt{3} \, \text{см}^2 \).

Ответ: Третья сторона треугольника равна \( 4 \, \text{см} \), а площадь треугольника составляет \( 8\sqrt{3} \, \text{см}^2 \).