Даны векторы a=am +Bn и b = ym + ön, где |m| == k; |n] = l; (m, n) == ф. Найти: a) (ha + ub) - (va + rb); б) пр.(va + rb); в) cos(a, rb). 1.10. a = 5, = -3, y = 4, 8= 2, k = 4, l= 1, = = 2л/3, = 2, = - 1/2, v = 3, т = 0. (Ответ: a) 2337.)

Чтобы решить заданные задачи, начнём с определения векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \):

1. Вектор \( \mathbf{a} = a \mathbf{m} + B \mathbf{n} \) можно представить как \( 5 \mathbf{m} - 3 \mathbf{n} \).
2. Вектор \( \mathbf{b} = y \mathbf{m} + ö \mathbf{n} \) станут \( 4 \mathbf{m} + 2 \mathbf{n} \).

Мы имеем:

• \( |\mathbf{m}| = k = 4 \)
• \( |\mathbf{n}| = l = 1 \)
• \( (\mathbf{m}, \mathbf{n}) = 0 \) (векторы перпендикулярны).

Теперь давайте перейдем к решениям.

a) Решение выражения \( (h\mathbf{a} + u\mathbf{b}) - (v\mathbf{a} + r\mathbf{b}) \)

Для этого подставим значения \( h = 2 \), \( u = 3 \), \( v = 3 \), \( r = 0 \):

\[ h\mathbf{a} = 2(5 \mathbf{m} - 3 \mathbf{n}) = 10 \mathbf{m} - 6 \mathbf{n} \]

\[ u\mathbf{b} = 3(4 \mathbf{m} + 2 \mathbf{n}) = 12 \mathbf{m} + 6 \mathbf{n} \]

Теперь сложим \( h\mathbf{a} + u\mathbf{b} \):

\[ h\mathbf{a} + u\mathbf{b} = (10 \mathbf{m} - 6 \mathbf{n}) + (12 \mathbf{m} + 6 \mathbf{n}) = (10 + 12)\mathbf{m} + (-6 + 6)\mathbf{n} = 22\mathbf{m} \]

Теперь подставим значения \( v\mathbf{a} + r\mathbf{b} \):

\[ v\mathbf{a} = 3(5 \mathbf{m} - 3 \mathbf{n}) = 15 \mathbf{m} - 9 \mathbf{n} \]

\[ r\mathbf{b} = 0 \cdot (4 \mathbf{m} + 2 \mathbf{n}) = 0 \]

Таким образом \( v\mathbf{a} + r\mathbf{b} = 15 \mathbf{m} - 9 \mathbf{n} \).

Теперь найдём выражение \((h\mathbf{a} + u\mathbf{b}) - (v\mathbf{a} + r\mathbf{b})\):

\[ (22\mathbf{m}) - (15 \mathbf{m} - 9 \mathbf{n}) = 22\mathbf{m} - 15\mathbf{m} + 9\mathbf{n} = 7\mathbf{m} + 9\mathbf{n} \]

Так как \(|\mathbf{m}| = 4\) и \(|\mathbf{n}| = 1\):

\[ = 7 \cdot 4 + 9 \cdot 1 = 28 + 9 = 37 \]

б) \( \text{пр.}(v\mathbf{a} + r\mathbf{b}) \)

Мы уже нашли \( v\mathbf{a} + r\mathbf{b} = 15\mathbf{m} - 9\mathbf{n} \).

Теперь вычислим:

\[ \text{пр.}(15\mathbf{m} - 9\mathbf{n}) = |15\mathbf{m} - 9\mathbf{n}| = \sqrt{(15^2 + (-9)^2)} = \sqrt{225 + 81} = \sqrt{306} \]

в) \( \cos(\mathbf{a}, \mathbf{b}) \)

Косинус угла между векторами находится по формуле:

\[ \cos(\mathbf{a}, \mathbf{b}) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} \]

Сначала найдем скалярное произведение \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \):

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (5 \mathbf{m} - 3 \mathbf{n}) \cdot (4 \mathbf{m} + 2 \mathbf{n}) = 5 \cdot 4 (\mathbf{m} \cdot \mathbf{m}) + (-3) \cdot 2 (\mathbf{n} \cdot \mathbf{n}) = 20 \cdot 4 - 6 \cdot 1 = 80 - 6 = 74 \]

Теперь найдем длины векторов:

\[ |\mathbf{a}| = \sqrt{(5^2 + (-3)^2)} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \]

\[ |\mathbf{b}| = \sqrt{(4^2 + 2^2)} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} \]

Теперь подставим в формулу:

\[ \cos(\mathbf{a}, \mathbf{b}) = \frac{74}{\sqrt{34} \cdot \sqrt{20}} = \frac{74}{\sqrt{680}} = \frac{74}{2\sqrt{170}} = \frac{37}{\sqrt{170}} \]

Таким образом, итоговые ответы: a) 37; б) \(\sqrt{306}\); в) \(\frac{37}{\sqrt{170}}\).