Даны векторы a = αm+βn и b = γm+δn, где |m| = k; |n| = l; (m,^n) = φ. Найти а) (λa+μb)∙(νa+τb); б) прв(νa+τb); в) cos(a,^τb) α = 5, β = –3, γ = 4, δ = 2, k = 4, l = 1, φ = 2π/3, λ = 2, μ = –1/2, ν = 3, τ = 0

Решим задачу поэтапно.

Даны векторы: \[ \mathbf{a} = \alpha \mathbf{m} + \beta \mathbf{n} = 5\mathbf{m} - 3\mathbf{n} \] \[ \mathbf{b} = \gamma \mathbf{m} + \delta \mathbf{n} = 4\mathbf{m} + 2\mathbf{n} \]

Заданные величины: \[ |\mathbf{m}| = k = 4, \quad |\mathbf{n}| = l = 1, \quad (\mathbf{m}, \mathbf{n}) = \phi = \frac{2\pi}{3} \] \[ \lambda = 2, \quad \mu = -\frac{1}{2}, \quad \nu = 3, \quad \tau = 0 \]

a) Найдем \((\lambda \mathbf{a} + \mu \mathbf{b}) \cdot (\nu \mathbf{a} + \tau \mathbf{b})\)

Для начала, вычислим \(\lambda \mathbf{a} + \mu \mathbf{b}\): \[ \lambda \mathbf{a} = 2 (5 \mathbf{m} - 3 \mathbf{n}) = 10 \mathbf{m} - 6 \mathbf{n} \] \[ \mu \mathbf{b} = -\frac{1}{2} (4 \mathbf{m} + 2 \mathbf{n}) = -2 \mathbf{m} - \mathbf{n} \] Следовательно, \[ \lambda \mathbf{a} + \mu \mathbf{b} = (10 \mathbf{m} - 6 \mathbf{n}) + (-2 \mathbf{m} - \mathbf{n}) = (10 - 2) \mathbf{m} + (-6 - 1) \mathbf{n} = 8 \mathbf{m} - 7 \mathbf{n} \]

Теперь вычислим \(\nu \mathbf{a} + \tau \mathbf{b}\): \[ \nu \mathbf{a} = 3 (5 \mathbf{m} - 3 \mathbf{n}) = 15 \mathbf{m} - 9 \mathbf{n} \] \[ \tau \mathbf{b} = 0 \] Следовательно, \[ \nu \mathbf{a} + \tau \mathbf{b} = 15 \mathbf{m} - 9 \mathbf{n} \]

Теперь можно вычислить скалярное произведение: \[ (\lambda \mathbf{a} + \mu \mathbf{b}) \cdot (\nu \mathbf{a} + \tau \mathbf{b}) = (8 \mathbf{m} - 7 \mathbf{n}) \cdot (15 \mathbf{m} - 9 \mathbf{n}) \]

Используем свойства скалярного произведения: \[ = 8 \cdot 15 |\mathbf{m}|^2 - 8 \cdot 9 (\mathbf{m} \cdot \mathbf{n}) - 7 \cdot 15 (\mathbf{n} \cdot \mathbf{m}) + 7 \cdot 9 |\mathbf{n}|^2 \]

Теперь подставим известные значения: \[ |\mathbf{m}|^2 = k^2 = 16, \quad |\mathbf{n}|^2 = l^2 = 1, \quad \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = |\mathbf{m}||\mathbf{n}|\cos(\phi) = 4 \cdot 1 \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = 4 \cdot -\frac{1}{2} = -2 \]

Подставляем в формулу: \[ = 8 \cdot 15 \cdot 16 - 8 \cdot 9 \cdot (-2) - 7 \cdot 15 \cdot (-2) + 7 \cdot 9 \cdot 1 \] \[ = 1200 + 144 + 210 + 63 = 1617 \]

б) Найдем \(\mathrm{prv}(\nu \mathbf{a} + \tau \mathbf{b})\)

Поскольку \(\tau = 0\): \[ \nu \mathbf{a} + \tau \mathbf{b} = 15 \mathbf{m} - 9 \mathbf{n} \] Чтобы найти его длину: \[ \mathrm{prv}(15\mathbf{m} - 9\mathbf{n}) = \sqrt{(15|\mathbf{m}|)^2 + (-9|\mathbf{n}|)^2} \] \[ = \sqrt{(15 \cdot 4)^2 + (-9 \cdot 1)^2} = \sqrt{(60)^2 + (-9)^2} = \sqrt{3600 + 81} = \sqrt{3681} \]

в) Найдем \(\cos(\mathbf{a}, \tau \mathbf{b})\)

Так как \(\tau = 0\), то мы не можем найти угол между \(\mathbf{a}\) и \(\tau \mathbf{b}\), потому что \(\tau \mathbf{b} = 0\) и у него нет направления.

Подводя итог, записываем ответы:

1. a) 1617
2. б) \(\sqrt{3681}\)
3. в) Угол между \(\mathbf{a}\) и нулевым вектором не определён.

Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!