В выражении (x + y)¹¹ раскрыли скобки и привели подобные. Чему равен коэффициент при x³ y⁸

Чтобы найти коэффициент при \(x^3 y^8\) в разложении выражения \((x + y)^{11}\), мы можем использовать теорему бинома. Эта теорема утверждает, что:

\[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \]

В нашем случае \(a = x\), \(b = y\) и \(n = 11\). Нам нужно найти такой член разложения, который содержит \(x^3\) и \(y^8\).

В данном случае, мы можем обозначить \(k\) как степень \(y\). Если \(k\) — это степень \(y\), то \(n-k\) будет равен степени \(x\):

\[ n - k = 3 \quad \text{и} \quad k = 8 \]

Итак, \(k = 8\) и \(n - k = 3\) тоже выполняется, так как \(3 + 8 = 11\).

Теперь мы можем найти коэффициент для этого члена:

\[ \binom{n}{k} = \binom{11}{8} \]

Согласно свойствам биномиальных коэффициентов, это также равно:

\[ \binom{11}{8} = \binom{11}{3} \]

Теперь вычислим \(\binom{11}{3}\):

\[ \binom{11}{3} = \frac{11!}{3!(11 - 3)!} = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = \frac{990}{6} = 165 \]

Таким образом, коэффициент при \(x^3 y^8\) в разложении \((x + y)^{11}\) равен 165.