На входе в торговый центр работают 2 автоматические двери. Каждая дверь может быть неисправна с вероятностью 0,05. Найдите вероятность того, что a) только одна дверь будет неисправна; б) только одна дверь будет исправна; в) хотя бы одна дверь будет исправна.
Давайте разберем эту задачу о вероятностях.
Обозначим:
- \( P(н) = 0.05 \) — вероятность того, что дверь неисправна.
- \( P(и) = 1 - P(н) = 0.95 \) — вероятность того, что дверь исправна.
Теперь рассмотрим три пункта:
a) Вероятность того, что только одна дверь будет неисправна:
Существует два варианта, когда только одна дверь неисправна:
- Первая дверь неисправна, а вторая исправна.
- Первая дверь исправна, а вторая неисправна.
Посчитаем вероятность каждого из вариантов:
- Для первого варианта: \( P(н) \times P(и) = 0.05 \times 0.95 \).
- Для второго варианта: \( P(и) \times P(н) = 0.95 \times 0.05 \).
Объединив оба варианта, получим: \[ P(только одна неисправна) = 0.05 \times 0.95 + 0.95 \times 0.05 = 0.0475 + 0.0475 = 0.095. \]
b) Вероятность того, что только одна дверь будет исправна:
Здесь также можно рассмотреть два случая:
- Первая дверь исправна, а вторая неисправна.
- Первая дверь неисправна, а вторая исправна.
Однако, как мы видим, это те же самые ситуации, и их вероятность также будет равна: \[ P(только одна исправна) = 0.05 \times 0.95 + 0.95 \times 0.05 = 0.095. \]
c) Вероятность того, что хотя бы одна дверь будет исправна:
Проще всего сосчитать вероятность противоположного события — что обе двери неисправны, а затем вычесть эту вероятность из 1.
Вероятность того, что обе двери неисправны: \[ P(обе неисправны) = P(н) \times P(н) = 0.05 \times 0.05 = 0.0025. \] Теперь находим вероятность того, что хотя бы одна дверь исправна: \[ P(хотя бы одна исправна) = 1 - P(обе неисправны) = 1 - 0.0025 = 0.9975. \]
Таким образом, ответы на ваши вопросы:
- a) Вероятность того, что только одна дверь неисправна: 0.095.
- б) Вероятность того, что только одна дверь исправна: 0.095.
- в) Вероятность того, что хотя бы одна дверь исправна: 0.9975.
