В три кармана разложили шесть монет разного достоинства. Какова вероятность того, что в одном кармане есть ровно две монеты.
Для решения задачи нужно воспользоваться комбинаторными принципами.
Общее количество способов распределения монет по карманам: Каждую из 6 монет можно положить в любой из 3 карманов. Таким образом, общее количество способов распределения 6 монет будет равно \(3^6\).
Количество способов, чтобы в одном кармане оказалось ровно 2 монеты:
- Выберем 2 монеты из 6 для одного кармана. Это можно сделать \(C(6, 2)\) способами, где \(C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\).
- Остальные 4 монеты могут быть распределены по 3 карманам любым способом. Поскольку у нас 3 кармана, каждую из 4 оставшихся монет можно положить в один из 3 карманов, что дает нам \(3^4\) вариантов.
Таким образом, количество благоприятных исходов будет равно: \[ C(6, 2) \cdot 3^4 \]
- Теперь подставим значения:
- \(C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15\)
- \(3^4 = 81\)
Итак, количество благоприятных исходов: \[ 15 \cdot 81 = 1215 \]
Общее количество исходов: как мы уже написали, равно \(3^6 = 729\).
Вероятность того, что в одном кармане окажется ровно 2 монеты: \[ P = \frac{1215}{729} \]
Однако следует сократить дробь. Делим числитель и знаменатель на 243: \[ P = \frac{1215 \div 243}{729 \div 243} = \frac{5}{3} \]
Но это неправильно, поскольку вероятность не может превышать 1. Вероятно, была ошибка в определении благоприятных исходов.
Предполагая, что только один карман может содержать 2 монеты, а оставшиеся 4 должны быть распределены по оставшимся 2 карманам.
- Выбираем 2 монеты из 6: \(C(6, 2) = 15\).
- Оставшиеся 4 монеты должны быть распределены в 2 кармана. Каждую монету можно распределять двумя способами, что дает \(2^4 = 16\).
Таким образом: \[ \text{Благоприятные исходы} = 15 \cdot 16 = 240 \]
Итак, вероятность равна: \[ P = \frac{240}{729} \]
Эта дробь не сокращается, поэтому окончательный ответ по вероятности, что в одном кармане 2 монеты: \[ P = \frac{240}{729} \]
