АВСДА1В1C1Д1 - куб, Р - середина В1C1,Kе AA1, АК: КA1 = 3 : 2. Найдите угол между прямой РК и плоскостью грани АВСД.

Чтобы найти угол между прямой \( PK \) и плоскостью грани \( ABCD \) в кубе, начнём с графического представления и рассматриваем координаты точек, основываясь на заданной информации.

1. Координаты вершин куба.
   Пусть куб имеет координаты вершин как:

   • \( A(0, 0, 0) \)
   • \( B(1, 0, 0) \)
   • \( C(1, 1, 0) \)
   • \( D(0, 1, 0) \)
   • \( A1(0, 0, 1) \)
   • \( B1(1, 0, 1) \)
   • \( C1(1, 1, 1) \)
   • \( D1(0, 1, 1) \)

2. Находим координаты точки \( P \) (середина \( B1C1 \)).
   Координаты точки \( P \) будут: \[ P = \left( \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{1+1}{2} \right) = \left( 1, 0.5, 1 \right) \]

3. Находим координаты точки \( K \) и точек \( A, A1 \).
   Сначала находим координаты точки \( K \) (которая делит отрезок \( AA1 \) в отношении \( 3:2 \)): \[ K = \frac{3A1 + 2A}{3 + 2} = \frac{3(0,0,1) + 2(0,0,0)}{5} = \left( 0, 0, \frac{3}{5} \right) \]

4. Вектор \( PK \).
   Теперь найдём вектор \( PK \): \[ PK = K - P = \left( 0, 0, \frac{3}{5} \right) - \left( 1, 0.5, 1 \right) = \left( -1, -0.5, -\frac{2}{5} \right) \]

5. Нормальный вектор плоскости \( ABCD \).
   Плоскость \( ABCD \) находится на уровне \( z = 0 \), её нормальный вектор \( N \): \[ N = (0, 0, 1) \]

6. Находим угол между вектором \( PK \) и нормальным вектором \( N \).
   Угол \( \theta \) между вектором и плоскостью можно найти по формуле: \[ \cos \theta = \frac{|PK \cdot N|}{|PK| \cdot |N|} \] Сначала вычислим скалярное произведение \( PK \cdot N \): \[ PK \cdot N = (-1, -0.5, -\frac{2}{5}) \cdot (0, 0, 1) = -\frac{2}{5} \]

   Затем найдём длину вектора \( PK \): \[ |PK| = \sqrt{(-1)^2 + (-0.5)^2 + \left(-\frac{2}{5}\right)^2} = \sqrt{1 + 0.25 + \frac{4}{25}} = \sqrt{1.25 + 0.16} = \sqrt{1.41} \approx 1.34 \] Длина нормального вектора \( N \) равна \( 1 \).

7. Теперь подставляем значения в формулу. \[ \cos \theta = \frac{\left| -\frac{2}{5} \right|}{1.34 \cdot 1} = \frac{0.4}{1.34} \approx 0.298 \] Теперь находим угол \( \theta \): \[ \theta = \arccos(0.298) \approx 72.3^\circ \]

Таким образом, угол между прямой \( PK \) и плоскостью грани \( ABCD \) примерно равен \( 72.3^\circ \).