Записать число z в алгебраической и тригонометрической формах, вычислить z^5: z=1:(корень из трёх +I)
Чтобы записать комплексное число \( z = \frac{1}{\sqrt{3} + i} \) в алгебраической и тригонометрической формах, начнем с упрощения.
Упрощение числа \( z \):
Мы начнем с умножения числителя и знаменателя на сопряжённое к знаменателю число, то есть \( \sqrt{3} - i \):
\[ z = \frac{1 \cdot (\sqrt{3} - i)}{(\sqrt{3} + i)(\sqrt{3} - i)} = \frac{\sqrt{3} - i}{3 + 1} = \frac{\sqrt{3} - i}{4} \]
Теперь можем записать \( z \) в алгебраической форме:
\[ z = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{4}i \]
Тригонометрическая форма:
Чтобы перейти к тригонометрической форме, найдем модуль и аргумент \( z \).
- Модуль \( |z| \):
\[ |z| = \sqrt{\left( \frac{\sqrt{3}}{4} \right)^2 + \left( -\frac{1}{4} \right)^2} = \sqrt{\frac{3}{16} + \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{4}{16}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \]
- Аргумент \( \theta \):
\( \tan \theta = \frac{\text{Imaginary part}}{\text{Real part}} = \frac{-\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{4}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \)
Это означает, что \( \theta = -\frac{\pi}{6} \) (в четвертом квадранте).
Таким образом, тригонометрическая форма будет:
\[ z = \frac{1}{2} \left( \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) \right) \]
Вычисление \( z^5 \):
Используем формулу Муавра для нахождения \( z^n \):
\[ z^5 = r^n \left( \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) \right) \]
Где \( r = \frac{1}{2} \), \( n = 5 \), и \( \theta = -\frac{\pi}{6} \):
\( r^5 = \left( \frac{1}{2} \right)^5 = \frac{1}{32} \)
\( n\theta = 5 \cdot -\frac{\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6} \)
Подставим это в формулу:
\[ z^5 = \frac{1}{32} \left( \cos\left(-\frac{5\pi}{6}\right) + i \sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right) \right) \]
Теперь вычислим косинус и синус:
- \( \cos\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
- \( \sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2} \)
Теперь подставим в уравнение:
\[ z^5 = \frac{1}{32} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i \right) = -\frac{\sqrt{3}}{64} - \frac{1}{64} i \]
Таким образом, ответ будет:
- Алгебраическая форма: \( z = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{4}i \)
- Тригонометрическая форма: \( z = \frac{1}{2} \left( \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) \right) \)
- \( z^5 = -\frac{\sqrt{3}}{64} - \frac{1}{64} i \)
Если будут еще вопросы или понадобятся дополнительные разъяснения — обращайтесь!
