Зачёт по теме «Простейшие задачи в координатах» Г - 11 № 5 1. Даны векторы: -1;1;1} 6{0;2;-2), 2-3;2;0). Найдите координаты вектора 5 = 30 – 0,56 +2. 2. Дано: а (1/2 1/2-1) векторами а и с. (1/2:0;1) Найдите угол между векторамт а и с 3. Середина отрезка АВ лежит в плоскости Оху. Найдите к, если A(0; 4; k); B(3; – 8; 2)

Давайте решим каждую из задач по очереди.

Задача 1

Даны векторы: \(\mathbf{a} = \{-1, 1, 1\}\), \(\mathbf{b} = \{0, 2, -2\}\), \(\mathbf{c} = \{-3, 2, 0\}\). Нам нужно найти координаты вектора \(\mathbf{v} = 3\mathbf{a} - 0.5\mathbf{b} + 2\mathbf{c}\).

1. Сначала умножим векторы на указанные скаляры: \[ 3\mathbf{a} = 3 \times \{-1, 1, 1\} = \{-3, 3, 3\} \] \[ -0.5\mathbf{b} = -0.5 \times \{0, 2, -2\} = \{0, -1, 1\} \] \[ 2\mathbf{c} = 2 \times \{-3, 2, 0\} = \{-6, 4, 0\} \]

2. Теперь сложим полученные векторы: \[ \mathbf{v} = \{-3, 3, 3\} + \{0, -1, 1\} + \{-6, 4, 0\} \]

3. Сложим координаты по осям: \[ x: -3 + 0 - 6 = -9 \] \[ y: 3 - 1 + 4 = 6 \] \[ z: 3 + 1 + 0 = 4 \]

4. Итак, координаты вектора \(\mathbf{v} = \{-9, 6, 4\}\).

Задача 2

Дано: \(\mathbf{a} = \left\{\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -1\right\}\) и \(\mathbf{c} = \{1/2, 0, 1\}\). Мы хотим найти угол \(\theta\) между векторами \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{c}\).

1. Используем формулу для нахождения угла между двумя векторами: \[ \cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{c}|} \]

2. Сначала найдем скалярное произведение \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}\): \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} = \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} \cdot 0\right) + \left(-1 \cdot 1\right) = \frac{1}{4} + 0 - 1 = -\frac{3}{4} \]

3. Теперь найдем длины векторов: \[ |\mathbf{a}| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + (-1)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} \] \[ |\mathbf{c}| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 0 + 1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \]

4. Теперь подставим в формулу: \[ \cos \theta = \frac{-\frac{3}{4}}{\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)} = \frac{-\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{30}}{4}} = \frac{-3}{\sqrt{30}} \]

5. Найдем угол \(\theta\): \[ \theta = \arccos\left(\frac{-3}{\sqrt{30}}\right) \]

Задача 3

Середина отрезка \(AB\) лежит в плоскости \(Oxy\). Даны точки \(A(0, 4, k)\) и \(B(3, -8, 2)\). Нужно найти значение \(k\).

1. Сначала найдем координаты середины отрезка \(AB\): \[ M = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2}\right) = \left(\frac{0 + 3}{2}, \frac{4 + (-8)}{2}, \frac{k + 2}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, -2, \frac{k + 2}{2}\right) \]

2. Для того чтобы середина \(M\) лежала в плоскости \(Oxy\), ее \(z\)-координата должна быть равна 0: \[ \frac{k + 2}{2} = 0 \]

3. Умножим обе стороны на 2: \[ k + 2 = 0 \] \[ k = -2 \]

Таким образом, значение \(k = -2\).

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь обращаться!