Зачёт по теме «Простейшие задачи в координатах» Г - 11 № 5 1. Даны векторы: -1;1;1} 6{0;2;-2), 2-3;2;0). Найдите координаты вектора 5 = 30 – 0,56 +2. 2. Дано: а (1/2 1/2-1) векторами а и с. (1/2:0;1) Найдите угол между векторамт а и с 3. Середина отрезка АВ лежит в плоскости Оху. Найдите к, если A(0; 4; k); B(3; – 8; 2)
Конечно! Давайте разберемся с каждой задачей по очереди.
Задача 1
Даны векторы: \( \mathbf{a} = \{-1, 1, 1\} \), \( \mathbf{b} = \{0, 2, -2\} \), \( \mathbf{c} = \{-3, 2, 0\} \). Найдите координаты вектора \( \mathbf{d} = 3\mathbf{a} - 0.56\mathbf{b} + 2\mathbf{c} \).
Решение:
Сначала вычислим каждую из частей:
- \( 3\mathbf{a} = 3 \cdot \{-1, 1, 1\} = \{-3, 3, 3\} \)
- \( -0.56\mathbf{b} = -0.56 \cdot \{0, 2, -2\} = \{0, -1.12, 1.12\} \)
- \( 2\mathbf{c} = 2 \cdot \{-3, 2, 0\} = \{-6, 4, 0\} \)
Теперь нужно сложить все векторы: \[ \mathbf{d} = \{-3, 3, 3\} + \{0, -1.12, 1.12\} + \{-6, 4, 0\} \]
- Для первой координаты: \( -3 + 0 - 6 = -9 \)
- Для второй координаты: \( 3 - 1.12 + 4 = 5.88 \)
- Для третьей координаты: \( 3 + 1.12 + 0 = 4.12 \)
Таким образом, координаты вектора \( \mathbf{d} \) равны \( \{-9, 5.88, 4.12\} \).
Задача 2
Даны векторы: \( \mathbf{a} = \{1/2, 1/2, -1\} \) и \( \mathbf{c} = \{1/2, 0, 1\} \). Найдите угол между векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{c} \).
Решение: Угол между двумя векторами можно найти с помощью формулы:
\[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{c}|} \]
Сначала найдем скалярное произведение \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} \): \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} = (1/2)(1/2) + (1/2)(0) + (-1)(1) = \frac{1}{4} + 0 - 1 = -\frac{3}{4} \]
Теперь найдем длины векторов:
Для \( \mathbf{a} \): \[ |\mathbf{a}| = \sqrt{(1/2)^2 + (1/2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} \]
Для \( \mathbf{c} \): \[ |\mathbf{c}| = \sqrt{(1/2)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \]
Теперь подставим все в формулу: \[ \cos(\theta) = \frac{-\frac{3}{4}}{\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)} = \frac{-\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{30}}{4}} = \frac{-3}{\sqrt{30}} \approx -0.5477 \]
Найдем угол \( \theta \): \[ \theta = \arccos\left(-\frac{3}{\sqrt{30}}\right) \]
Задача 3
Пусть середина отрезка \( AB \) лежит в плоскости \( Oxy \). Найдите \( k \), если \( A(0, 4, k); B(3, -8, 2) \).
Решение: Сначала найдем координаты середины отрезка \( AB \): \[ M\left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2} \right) \]
Подставим значения:
- \( x_M = \frac{0 + 3}{2} = \frac{3}{2} \)
- \( y_M = \frac{4 - 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \)
- \( z_M = \frac{k + 2}{2} \)
Поскольку середина \( M \) должна лежать в плоскости \( Oxy \), её координата \( z_M \) должна равняться нулю: \[ \frac{k + 2}{2} = 0 \]
Умножим обе стороны на 2: \[ k + 2 = 0 \]
Таким образом, получаем: \[ k = -2 \]
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, дайте знать!
