Найдите координаты D параллелограмма ABCD, если координаты трех других вершин известны: A(1;-1;0); B(0;1;-1); С(-1;0;1)
Для нахождения координат точки D параллелограмма ABCD, когда известны координаты трёх вершин A(1;-1;0), B(0;1;-1) и C(-1;0;1), мы можем воспользоваться свойством параллелограмма: его диагонали пересекаются в середине.
Обозначим координаты точки D как D(x, y, z). Сначала вычислим координаты середины диагонали AC. Координаты середины отрезка определяются по формуле:
\[ M_{AC} = \left(\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}, \frac{z_A + z_C}{2}\right) \]
Теперь подставим координаты точек A и C:
\[ M_{AC} = \left(\frac{1 + (-1)}{2}, \frac{-1 + 0}{2}, \frac{0 + 1}{2}\right) = \left(0, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) \]
Теперь найдем середину диагонали BD, она должна совпадать с M_{AC}. Сначала найдем координаты точки D, использовав точки B и D:
\[ M_{BD} = \left(\frac{x_B + x_D}{2}, \frac{y_B + y_D}{2}, \frac{z_B + z_D}{2}\right) \]
Подставим координаты точки B:
\[ M_{BD} = \left(\frac{0 + x}{2}, \frac{1 + y}{2}, \frac{-1 + z}{2}\right) \]
Поскольку M_{AC} должно равняться M_{BD}, приравняем соответствующие координаты:
Для x-координаты: \[ \frac{0 + x}{2} = 0 \implies x = 0 \]
Для y-координаты: \[ \frac{1 + y}{2} = -\frac{1}{2} \implies 1 + y = -1 \implies y = -2 \]
Для z-координаты: \[ \frac{-1 + z}{2} = \frac{1}{2} \implies -1 + z = 1 \implies z = 2 \]
Итак, координаты точки D равны:
\[ D(0; -2; 2) \]
Таким образом, координаты точки D параллелограмма ABCD составляют (0; -2; 2).
