Докажите что четврехугольник ABCD является параллелограммом, если: А(2;1;3), В(1;0;7), С (-2;1;5), D(-1;2;1).
Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, необходимо показать, что его противолежащие стороны равны. Для этого рассчитаем векторы сторон AB, BC, CD и DA.
Вектор AB: \[ \vec{AB} = B - A = (1 - 2; 0 - 1; 7 - 3) = (-1; -1; 4) \]
Вектор CD: \[ \vec{CD} = D - C = (-1 - (-2); 2 - 1; 1 - 5) = (1; 1; -4) \]
Вектор BC: \[ \vec{BC} = C - B = (-2 - 1; 1 - 0; 5 - 7) = (-3; 1; -2) \]
Вектор DA: \[ \vec{DA} = A - D = (2 - (-1); 1 - 2; 3 - 1) = (3; -1; 2) \]
Теперь проверим, равны ли векторы противолежащих сторон. Для этого нужно проверить, равны ли векторы AB и CD, а также BC и DA.
Чтобы векторы были равны, необходимо, чтобы их координаты были одинаковыми по модулю и направлению.
Векторы AB и CD:
- \(\vec{AB} = (-1; -1; 4)\)
- \(\vec{CD} = (1; 1; -4)\)
Векторы AB и CD противоположны: \[ \vec{AB} = -1 \cdot \vec{CD} \] Это подтверждает, что \(\vec{AB} = \vec{CD}\).
Теперь проверим векторы BC и DA:
- \(\vec{BC} = (-3; 1; -2)\)
- \(\vec{DA} = (3; -1; 2)\)
Векторы BC и DA также противоположны: \[ \vec{BC} = -1 \cdot \vec{DA} \] Это подтверждает, что \(\vec{BC} = \vec{DA}\).
Так как оба пары противолежащих сторон равны, мы можем заключить, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.
