При нажатии на кнопку этажа в лифте 23-этажного дома кнопка загорается, а при повторном нажатии — гаснет. В лифт зашли Вася, Коля и Петя. Вася нажал на 12 различных кнопок, Коля —…

Давайте обозначим количество кнопок, которые были нажаты трижды, как \( x \).

Пусть:

• \( a \) — количество кнопок, нажанных только Васей,
• \( b \) — количество кнопок, нажанных только Колей,
• \( c \) — количество кнопок, нажанных только Петей,
• \( d \) — количество кнопок, нажанных двумя из них,
• \( x \) — количество кнопок, нажанных всеми тремя.

Тогда можно записать системы уравнений для количества нажатий каждой кнопки:

1. Количество нажатий от Васи: \( a + d + x = 12 \)
2. Количество нажатий от Коли: \( b + d + x = 14 \)
3. Количество нажатий от Пети: \( c + d + x = 19 \)

Также отмечаем, что нажатия должны быть четными: для того чтобы кнопка загорелась, каждый нажим должен быть четным (двойное нажатие гасит свет). В итоге, так как мы хотим, чтобы все кнопки загорелись, сумма нажатий на все кнопки должна равняться количеству кнопок, нажанных четное число раз, что уже показано выше.

Теперь мы знаем, что результат после всех нажатий должен быть равен количеству различных кнопок, то есть:

\[ a + b + c + d + x = 23 \]

Отсюда можем выразить \( d \) через \( a, b, c, x \):

\[ d = 23 - (a + b + c + x) \]

Также можно выразить \( d \) через \( x \):

1. Из первого уравнения: \( d = 12 - a - x \)
2. Из второго уравнения: \( d = 14 - b - x \)
3. Из третьего уравнения: \( d = 19 - c - x \)

Теперь у нас 4 уравнения и 4 переменные. Мы можем подставить значение \( d \) из любого из уравнений во все остальные, чтобы упростить задачу.

Начнём с \( a + b + c + 3x = 45 - (12 + 14 + 19) = 45 - 45 = 0 \), следовательно, \( a + b + c + 3x = 0 \).

Так как все переменные неотрицательные (поскольку они не могут принимать отрицательные значения), то:

\[ x = 0 \]

Это означает, что кнопок, нажатых трижды, не существует.

Таким образом, на наш вопрос о количестве кнопок, которые были нажаты трижды, будет ответ: 0.