На балу присутствует не более 50 человек. Они танцуют в парах (один мужчина и одна женщина). В настоящий момент танцуют 3/5 всех мужчин и 4/7 всех женщин. Сколько людей присутствует на балу?

Обозначим количество мужчин за \( M \), а количество женщин за \( W \).

Согласно условиям задачи, в данный момент танцуют \( \frac{3}{5} M \) мужчин и \( \frac{4}{7} W \) женщин. Поскольку пары составляют мужчин и женщин, количество танцующих пар (мужчин и женщин) должно быть одинаковым. То есть:

\[ \frac{3}{5} M = \frac{4}{7} W \]

Теперь выразим \( W \) через \( M \):

\[ 7 \cdot \frac{3}{5} M = 4W \] \[ \frac{21}{5} M = 4W \] \[ W = \frac{21}{20} M \]

Теперь общее количество людей на балу можно выразить как:

\[ N = M + W = M + \frac{21}{20} M = \frac{20}{20} M + \frac{21}{20} M = \frac{41}{20} M \]

Поскольку согласно условию на балу присутствует не более 50 человек, мы можем записать неравенство:

\[ \frac{41}{20} M \leq 50 \]

Умножим обе стороны на 20:

\[ 41M \leq 1000 \]

Теперь разделим на 41:

\[ M \leq \frac{1000}{41} \approx 24.39 \]

Поскольку число мужчин \( M \) должно быть целым, то максимальное возможное значение для \( M \) равно 24. Проверим, равен ли \( M = 24 \):

\[ W = \frac{21}{20} \cdot 24 = 25.2 \]

Так как количество женщин также должно быть целым, допустимые целые значения для \( M \) должны быть меньше 24, возвращаемся к \( M = 20 \):

\[ W = \frac{21}{20} \cdot 20 = 21 \]

Теперь посчитаем общее количество людей при \( M = 20 \) и \( W = 21 \):

\[ N = 20 + 21 = 41 \]

Проверим, удовлетворяются ли условия задачи:

Танцующие мужчины:

\[ \frac{3}{5} \cdot 20 = 12 \]

Танцующие женщины:

\[ \frac{4}{7} \cdot 21 \approx 12 \]

Количество танцующих мужчин и женщин совпадает. Таким образом, ответ:

41 человек.