На балу присутствует не более 60 человек. Они танцуют в парах (один мужчина и одна женщина). В настоящий момент танцуют 3/4 всех мужчин и 4/5 всех женщин. Сколько людей присутствует на балу?
Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим количество мужчин как \( M \) и количество женщин как \( W \).
Согласно условию, на балу присутствует не более 60 человек, поэтому можем записать неравенство: \[ M + W \leq 60. \]
Также по условию, в танце участвуют:
- \( \frac{3}{4} M \) мужчин,
- \( \frac{4}{5} W \) женщин.
Так как танцуют в парах (один мужчина и одна женщина), количество танцующих мужчин и женщин должно быть равно: \[ \frac{3}{4} M = \frac{4}{5} W. \]
Теперь, чтобы избавиться от дробей, домножим обе стороны уравнения на 20 (наименьшее общее кратное для 4 и 5): \[ 20 \cdot \frac{3}{4} M = 20 \cdot \frac{4}{5} W. \] Это упрощается до: \[ 15M = 16W. \]
Теперь можем выразить \( W \) через \( M \): \[ W = \frac{15}{16} M. \]
Теперь подставим это выражение в неравенство \( M + W \leq 60 \): \[ M + \frac{15}{16} M \leq 60. \] Это можно упростить: \[ \frac{16}{16} M + \frac{15}{16} M = \frac{31}{16} M \leq 60. \]
Теперь умножим обе стороны на 16, чтобы избавиться от дроби: \[ 31M \leq 960. \]
Теперь находим \( M \): \[ M \leq \frac{960}{31} \approx 30.97. \] Поскольку количество мужчин должно быть целым, максимальное количество мужчин \( M = 30 \).
Теперь подставим значение \( M = 30 \) в уравнение для \( W \): \[ W = \frac{15}{16} \cdot 30 = 28.125. \] Так как количество женщин тоже должно быть целым, округлим до \( W = 28 \).
Теперь проверим общее количество людей: \[ M + W = 30 + 28 = 58. \]
Таким образом, на балу присутствует 58 человек.
