Из клетчатого квадрата 9 × 9 вырезали часть угловых клеток, а оставшуюся фигуру разбили на квадраты со сторонами 1 и 3 так, чтобы квадратов каждого типа получилось поровну.…

Для решения задачи начнем с того, что у нас есть квадрат 9 × 9, который состоит из 81 клетки. Мы хотим разбить оставшуюся фигуру на квадраты со сторонами 1 и 3 так, чтобы количество квадратов каждого типа было одинаковым.

Пусть \( x \) — это количество квадратов со стороной 1, а \( x \) — это же количество квадратов со стороной 3. Таким образом, общее количество клеток, занятое квадратами, будет:

\[ 1^2 \cdot x + 3^2 \cdot x = x + 9x = 10x. \]

Теперь, чтобы найти, сколько клеток могло быть вырезано, нам нужно выяснить, сколько клеток осталось после вырезания угловых клеток. Обозначим количество вырезанных клеток как \( y \). Тогда, после вырезания, общее количество оставшихся клеток будет:

\[ 81 - y. \]

Мы также знаем, что это количество должно быть равно 10x:

\[ 81 - y = 10x. \]

Теперь мы можем выразить \( y \):

\[ y = 81 - 10x. \]

Значение \( y \) должно быть неотрицательным, то есть:

\[ 81 - 10x \geq 0 \implies 10x \leq 81 \implies x \leq 8.1. \]

Так как \( x \) — это количество квадратов и должно быть целым числом, то \( x \) может принимать значения от 0 до 8.

Теперь можем рассмотреть возможные значения \( x \):

• Если \( x = 0 \), то \( y = 81 - 10 \cdot 0 = 81 \).
• Если \( x = 1 \), то \( y = 81 - 10 \cdot 1 = 71 \).
• Если \( x = 2 \), то \( y = 81 - 10 \cdot 2 = 61 \).
• Если \( x = 3 \), то \( y = 81 - 10 \cdot 3 = 51 \).
• Если \( x = 4 \), то \( y = 81 - 10 \cdot 4 = 41 \).
• Если \( x = 5 \), то \( y = 81 - 10 \cdot 5 = 31 \).
• Если \( x = 6 \), то \( y = 81 - 10 \cdot 6 = 21 \).
• Если \( x = 7 \), то \( y = 81 - 10 \cdot 7 = 11 \).
• Если \( x = 8 \), то \( y = 81 - 10 \cdot 8 = 1 \).

Таким образом, возможные значения \( y \) (количество вырезанных клеток) могут быть: 81, 71, 61, 51, 41, 31, 21, 11 и 1.

В результате можно сказать, что вырезать можно было 81, 71, 61, 51, 41, 31, 21, 11 или 1 клетку, сохраняя равное количество квадратов со сторонами 1 и 3.