На балу присутствует не более 20 человек. они танцуют в парах (один мужчина и одна женщина). в настоящий момент танцуют 2/5 всех мужчин и 4/7 всех женщин. сколько людей присутствует на балу

Давайте разберёмся с задачей шаг за шагом.

Обозначим количество мужчин на балу как \( M \), а количество женщин как \( W \). Согласно условиям задачи, на балу присутствует не более 20 человек:

\[ M + W \leq 20. \]

Далее в задаче сказано, что танцуют \( \frac{2}{5} \) всех мужчин и \( \frac{4}{7} \) всех женщин. Поскольку пары состоят из одного мужчины и одной женщины, количество танцующих мужчин равно количеству танцующих женщин:

\[ \frac{2}{5}M = \frac{4}{7}W. \]

Для удобства работы с дробями, мы можем избавиться от них. Умножим обе стороны уравнения на \( 35 \) (это наименьшее общее кратное знаменателей 5 и 7):

\[ 35 \cdot \frac{2}{5}M = 35 \cdot \frac{4}{7}W \]

Это упростится до:

\[ 14M = 20W. \]

Теперь выразим \( M \) через \( W \):

\[ M = \frac{20}{14}W = \frac{10}{7}W. \]

Теперь мы можем подставить это значение \( M \) в неравенство:

\[ \frac{10}{7}W + W \leq 20. \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{10}{7}W + \frac{7}{7}W \leq 20, \]

\[ \frac{17}{7}W \leq 20. \]

Умножим обе стороны на 7:

\[ 17W \leq 140. \]

Теперь делим обе стороны на 17:

\[ W \leq \frac{140}{17} \approx 8.24. \]

Так как количество женщин должно быть целым числом, максимальное значение \( W \) равно 8. Подставим это значение обратно в формулу для \( M \):

\[ M = \frac{10}{7} \cdot 8 = \frac{80}{7} \approx 11.43. \]

Значит, максимальное целое значение для \( M \) будет 11. Теперь подставим \( W = 8 \) и \( M = 11 \) в уравнение для подсчёта участников на балу:

\[ M + W = 11 + 8 = 19. \]

Таким образом, на балу присутствует 19 человек.