в треугольнике АВС, АВ=10 см, ВС=8 см и <С=90°. вычислите скалярное произведение векторов АВ×АС
В треугольнике ABC угол C равен 90°, что позволяет использовать свойства прямоугольного треугольника для вычисления скалярного произведения векторов AB и AC.
Находим длину стороны AC. В прямоугольном треугольнике ABC, используя теорему Пифагора: \[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \] Подставляя известные значения: \[ AC^2 + 8^2 = 10^2 \] \[ AC^2 + 64 = 100 \] \[ AC^2 = 100 - 64 = 36 \implies AC = 6 \text{ см} \]
Находим координаты точек. Предположим:
- Точка A находится в начале координат \( (0, 0) \),
- Точка B по оси X на \( (10, 0) \),
- Точка C по оси Y на \( (10, 8) \) (так как BC = 8 и угол C = 90°).
Тогда координаты точек будут следующие:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(10, 0) \)
- \( C(10, 6) \)
Векторы AB и AC. Найдем координаты векторов:
- Вектор \( \vec{AB} = B - A = (10 - 0, 0 - 0) = (10, 0) \)
- Вектор \( \vec{AC} = C - A = (10 - 0, 6 - 0) = (10, 6) \)
Скалярное произведение. Скалярное произведение векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \) вычисляется по формуле: \[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = x_1x_2 + y_1y_2 \] Подставляем значения: \[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = (10)(10) + (0)(6) = 100 + 0 = 100 \]
Таким образом, скалярное произведение векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \) равно \( 100 \).
