На балу присутствует не более 60 человек. Они танцуют в парах (один мужчина и одна женщина). В настоящий момент танцуют 3/4 всех мужчин и 4/5 всех женщин. Сколько людей…

Чтобы выяснить, сколько людей присутствует на балу, давайте обозначим количество мужчин как \( M \), а количество женщин как \( W \).

Согласно условию, в настоящее время танцуют \( \frac{3}{4}M \) мужчин и \( \frac{4}{5}W \) женщин. Поскольку пары составляют по одному мужчинe и одной женщине, количество танцующих пар равно количеству танцующих мужчин и женщин. Это позволяет нам записать уравнение:

\[ \frac{3}{4}M = \frac{4}{5}W \]

Теперь умножим обе стороны уравнения на 20 (наименьшее общее кратное 4 и 5), чтобы избавиться от дробей:

\[ 20 \cdot \frac{3}{4}M = 20 \cdot \frac{4}{5}W \]

Это дает:

\[ 15M = 16W \]

Теперь выражаем \( W \) через \( M \):

\[ W = \frac{15}{16}M \]

Также из условия задачи известно, что общее количество людей на балу — не более 60 человек. Тогда общее число людей можно записать как:

\[ M + W \leq 60 \]

Подставим выражение для \( W \) в это неравенство:

\[ M + \frac{15}{16}M \leq 60 \]

Объединим \( M \):

\[ \frac{16}{16}M + \frac{15}{16}M \leq 60 \]

\[ \frac{31}{16}M \leq 60 \]

Теперь умножим обе стороны на 16, чтобы избавиться от деления:

\[ 31M \leq 960 \]

Теперь делим обе стороны на 31:

\[ M \leq \frac{960}{31} \approx 30.97 \]

Поскольку количество мужчин должно быть целым числом, максимальное значение для \( M \) равно 30. Теперь мы можем найти \( W \):

\[ W = \frac{15}{16} \cdot 30 = 28.125 \]

Поскольку количество женщин также должно быть целым числом, максимальное значение для \( W \) равно 28. Теперь уточним общее количество людей:

\[ M + W = 30 + 28 = 58 \]

Таким образом, на балу присутствует 58 человек.