На балу присутствует не более 50 человек.Они танцуют в парах (один мужчина и одна женщина).В настоящий момент танцует 3/5 всех мужчин и 4/7 всех женщин.Сколько людей присутствует…

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Пусть количество мужчин на балу обозначим как \( M \), а количество женщин — \( W \). Тогда общее количество людей на балу можно записать как \( M + W \). У нас есть условие, что общее количество людей не превышает 50:

\[ M + W \leq 50. \]

В задаче также говорится, что сейчас танцует \( \frac{3}{5} \) всех мужчин и \( \frac{4}{7} \) всех женщин. Количество мужчин, которые танцуют, можно выразить как \( \frac{3}{5}M \), а количество женщин — как \( \frac{4}{7}W \).

Так как пары составляют по одному мужчине и одной женщине, количество танцующих мужчин равно количеству танцующих женщин:

\[ \frac{3}{5}M = \frac{4}{7}W. \]

Теперь мы можем решить это уравнение. Умножим обе стороны на 35, чтобы избавиться от дробей:

\[ 35 \cdot \frac{3}{5}M = 35 \cdot \frac{4}{7}W \]

Это упрощается до:

\[ 21M = 20W. \]

Из этого уравнения можно выразить \( W \) через \( M \):

\[ W = \frac{21}{20}M. \]

Теперь подставим это значение в неравенство \( M + W \leq 50 \):

\[ M + \frac{21}{20}M \leq 50. \]

Объединив \( M \), получим:

\[ \frac{20}{20}M + \frac{21}{20}M = \frac{41}{20}M \leq 50. \]

Умножим обе стороны на 20, чтобы избавиться от дроби:

\[ 41M \leq 1000. \]

Теперь делим обе стороны на 41:

\[ M \leq \frac{1000}{41} \approx 24.39. \]

Поскольку количество мужчин \( M \) должно быть целым числом, максимальное значение для \( M \) — 24.

Теперь найдем количество женщин \( W \):

\[ W = \frac{21}{20}M = \frac{21}{20} \cdot 24 = 25.2. \]

Максимальное целое значение для женщин согласно нашему уравнению — 25.

Теперь найдем общее количество людей на балу:

\[ M + W = 24 + 25 = 49. \]

Таким образом, на балу присутствует 49 человек.