В треугольнике ABC <C=135°,AB=3|2,BC=3 найти <Au <B

Чтобы найти углы <A и <B в triangle ABC, где угол <C равен 135°, а стороны AB и BC известны, воспользуемся теорией треугольников и синусом.

Дано:

• угол <C = 135°
• сторона AB = 3√2
• сторона BC = 3

Сначала найдем сторону AC, используя теорему косинов:

Согласно теореме косинов, для треугольника ABC можем записать:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \]

В нашем случае:

• a = AC (ищем)
• b = BC = 3
• c = AB = 3√2
• C = 135°

Теперь подставим значения:

\[ (3\sqrt{2})^2 = AC^2 + 3^2 - 2 \cdot AC \cdot 3 \cdot \cos(135°) \]

Значение cos(135°) равно -√2/2:

\[ 18 = AC^2 + 9 + 2 \cdot AC \cdot 3 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \]

Упростим уравнение:

\[ 18 = AC^2 + 9 - 3\sqrt{2}AC \]

Переносим все на одну сторону:

\[ AC^2 - 3\sqrt{2}AC + 9 - 18 = 0 \]

\[ AC^2 - 3\sqrt{2}AC - 9 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение по формуле:

\[ AC = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Где

• a = 1
• b = -3√2
• c = -9

Вычислим дискриминант:

\[ D = (-3\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 18 + 36 = 54 \]

Теперь:

\[ AC = \frac{3\sqrt{2} \pm \sqrt{54}}{2} = \frac{3\sqrt{2} \pm 3\sqrt{6}}{2} \]

Значения стороны AC:

Теперь, чтобы найти углы A и B, мы можем использовать закон синусов:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

Таким образом, сначала найдем угол <A:

\[ \frac{AC}{\sin A} = \frac{3\sqrt{2}}{\sin(135°)} \]

Используем значение sin(135°) = √2/2:

\[ \frac{AC}{\sin A} = \frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 6 \]

Так что

\[ AC = 6 \sin A \]

Затем можем найти угол <B через:

\[ \frac{BC}{\sin B} = \frac{3\sqrt{2}}{\sin(135°)} \]

Где BC=3:

\[ \frac{3}{\sin B} = 6 \] \[ \sin B = \frac{1}{2} \implies B = 30° \]

Используя сумму углов в треугольнике:

\[ A + B + C = 180° \] \[ A + 30° + 135° = 180° \]

Отсюда:

\[ A = 15° \]

Таким образом, мы нашли:

<А = 15°, <B = 30°.